带花树小记

又因为不会带花树被全机房薄纱了！

匈牙利做的二分图匹配是带花树的基础，其核心在于寻找增广路，而二分图和一般图的最大区别就是存在奇环，那么带花树的核心也即如何处理奇环。

我们还是枚举每个点找增广路，从每个点出发 BFS，设起点为黑点，增广到的点为白点。如果这个白点没有匹配点，那么就找到了一条增广路，结束。否则如果这个白点没有遍历过，那么将这个白点的匹配点设为黑点，扔到队列里面继续 BFS。

如果这个点已经被遍历过了，且是白点，说明我们找到了一个偶环。一个长度为 \(2k\) 的偶环只能产生 \(k\) 对匹配，而我们现在已经有了 \(k\) 对匹配，因此增广路取反不会增加匹配的对数，可以不用管。如果是一个黑点，说明找到了一个奇环，一个长度为 \(2k+1\) 的奇环也只能产生 \(k\) 对匹配，但是多出来的一个点是灵活的，现在环上已经有了 \(k\) 对匹配，因此我们的目标就是确定多出来的点的位置。

这个环上多出来了一个点显然是黑点，并且环上的所有点都可以成为这个点，因此我们将整个环都染成黑点，这个操作称为开花。

具体的，首先我们找到 \(x,y\) 在 BFS 树上的 LCA，然后将这整个环看成都是黑点继续匹配，并且将其中的白点入队增广。同时，为了能在找到增广路以后对路径取反，我们还需要维护每个白点的前驱 \(pre_x\)。

但是问题来了，在奇环上都是黑点，怎么维护 \(pre_x\) 呢？

注意到环上是匹配边和非匹配边相间的，而如果一个原来的白点增广成功，那么这个白点会从它的匹配点开始，往下绕一圈，如果一个黑点增广成功，那么会往上翻转直至 LCA 处。

由于白点和黑点的反转方向是不同的，因此我们将环上的 \(pre\) 全部建成双向边，这样的话手玩一下就可以发现满足题意。于是我们得到了一个 \(O(nm^2)\) 的做法。

但是这个做法看上去非常劣，考虑如何优化。可以用并查集加速缩花的过程。发现实际上如果我们将花看作一个点，那么求 LCA 的时候大力跳过是没有关系的，而缩花的过程可以看作启发式合并，因此总复杂度是 \(O(nm\log n)\) 的，而且还跑不满。

UOJ模板题 的 submission