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Nim z utrudnieniem

挺精巧一题。

首先我们知道，nim游戏后手必胜的充要条件为所有堆的数量异或和为\(0\)，则相当于要选择一部分数使得异或起来为所有的异或和。

直接dp是\(O(ndA)\)的，不可接受。

发现题目里给了一个非常奇怪的限制：\(\sum A_i\leq 10^7\)，考虑从这方面着手。将\(a\)排序以后，前\(i\)个数组成的异或和不会超过\(2^{\lceil\log A_i\rceil}\)，也即直接暴力dp总和不会超过\(2m\)，时间复杂度\(O(md)\)

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Turysta

一眼NP问题，再一眼并不是。

首先下意识缩点，发现缩完点之后是一条链，盲猜每个点最长路是这个点在链上能走到的节点。

DAG之间的边一定存在，所以相当于SCC间相互独立，则只需要构造出每个SCC内部的一个环即可。

考虑先构造一条链，每次加入一个点。如果当前链尾有边指向当前点，则直接加入链尾，否则从后往前找到第一个有边指向它的点然后加入。如果始终加入不了，那么就放在链首。

现在考虑成环，首先找到最大的包含链首的环，然后往后加链中的点。如果一个点它没有指向当前链中的点，那么就先放放，知道第一个指向当前链中的点有边的点，则让链上前一个点指向第一个被放下的点，然后一条链，这个点再指向链上的点，就构造出一个环。时间复杂度\(O(n^2)\)

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