POI2015

KUR

首先设\(z=ai+b\)，考虑求出\(z\)的范围。假设序列的第\(j\)位为\(1\)，则\(z+a(j-1)\geq p\)，即将\([p,n)\)区间向左循环位移\(a(j-1)\)，然后对所有这样的区间取交。

由于循环位移可能一个区间变成两个，因此直接取交不好做。考虑取反变成取并，然后排序即可。

但是你会发现样例过不去，观察一下发现最后\(m-1\)个即使合法也无法造成贡献，则暴力KMP即可。时间复杂度\(O(m\log m)\)

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TRZ

牛逼题，本来还口胡了一个\(O(n\log n)\)的诡异做法。

结论大概是左端点在前三个，或右端点在后三个。

考虑反证，也即证明左右都有三个不合法。设三个大小递减的字母依次为\(A,B,C\)。

首先证明不能有\(A\)，第一个位置显然不能，第二个位置如果是\(A\)，则第一个位置只能是\(C\)，考虑另外一边的第一个位置，如果是\(B\)则全部加一，矛盾。如果是\(C\)则\(C\)填了\(A\)的位置，矛盾。

第三个位置如果是\(A\)，则前两个不能都是\(B\)，而若\(BC\)均有也矛盾，若都为\(C\)则\(C\)填了\(A\)的位置。

因此不能有\(A\)。然后类似讨论也可以证明只有\(BC\)不合法，因此得证。

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MOD

首先维护树上最远点对，求出\(f_{1,i}\)表示一个点子树内最远点对，\(f_{2,i}\)表示一个点子树外最远点对。

然后最远的显然是选一条边断掉然后把两个直径接起来，最近的是一条边断掉然后两个直径中点接起来。

用树剖不要用欧拉序，会被卡空间。

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POD

和PKUSC2022D2T2差不多，对每种颜色随机哈希值，满足异或和为\(0\)，则颜色在同一边可以看作异或和为\(0\)，概率是\(2^{-64}\)。然后第二问双指针即可。

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KWA

是那种需要打打表才能知道的题捏。

首先显然\(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)处的答案为\(n\)，且是最后一个。打表发现最前面的\(n+1\)答案在\(n\)足够大时在\(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-128\)处，足够大指\(n^2>128\)量级。

然后考察\([\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-128,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}]\)内的所有\(k(n)\)，我们发现恰好和\([1,128]\)内能否被组成出来相同。也即如果\(j\)不能被组成出来，则\(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-j\)为\(n+1\)，否则为\(n\)。

这启发我们去证明，\(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-j\)是由\(1\)到\(n^2\)减去某些\(128\)以内的平方数得到的。

考虑归纳。已知\(n\leq 2870\)内打表证明正确，往后的\(n>400\)，则上述范围只能由前面的\(128\)范围内加上\(n^2\)得到，也就可以得到这个循环。

则找个循环节就很好做了，时间复杂度\(O(\log n)\)但是我懒写了\(O(\sqrt[3] n)\)

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