算法第三章上机实践报告

1.实践题目

数字三角形

给定一个由 n行数字组成的数字三角形如下图所示。试设计一个算法，计算出从三角形 的顶至底的一条路径(每一步可沿左斜线向下或右斜线向下)，使该路径经过的数字总和最大。

输入格式:

输入有n+1行：

第 1 行是数字三角形的行数 n，1<=n<=100。

接下来 n行是数字三角形各行中的数字。所有数字在0..99 之间。

输出格式:

输出最大路径的值。

输入样例:

在这里给出一组输入。例如：

5 
7 
3 8 
8 1 0 
2 7 4 4
4 5 2 6 5 

输出样例:

在这里给出相应的输出。例如：

30

 

2.问题描述

本题要求：1）输入数组（双重循环，二维数组）；2）找出最大路径。最大路径要求通过动态规划法来求取。

3.算法描述

先用递归的方法找到大致思路，然后将大问题差分成小问题，画表格找到动态规划法的窍门。

1）递归思路：

用二维数组 d[ l ][ r ] 存数字三角形
 if ( l  ==  n) maxSum( l , r ) = d [ l ][ r ] ;
 else maxSum ( l , r ) = max { maxSum( l+1, r ) , maxSum( l+1, r+1 ) }

/*递归方法中的递归函数*/

int MaxSum(int l,int r) //a[l][r]为输入的数字三角形

{
    if(l==n) //n为数字三角形的层数
        return a[l][r];
    else
        return max(MaxSum(l+1,r),MaxSum(l+1,r+1))+a[l][r];
}

2）有递归算法可以看到，递归思想是把求最大路径时左和右的不同分成小的问题，代入动态规划法中，既然想知道最大的路径是什么，那么最大路径中的子路径也是最大的，由此可推，在数字三角形的第二行（所有路径第一行都是同一个数）哪边最大，哪边就是最大路径的第一个方向。然后，那一边的左右两个数字哪个最大哪个就是下一个数。因此，自底向上，下层的点就是选择上层与其相连点的最大路径。因此从下往上遍历元素，提取大的那一项，绘制表格如下（横排为j，竖排为i）：

 

1	2	……	n-1	n
2
……		a[i][j]
n-1		a[i+1][j]	a[i+1][j+1]
n

 

设最长路径长度为m[i][j]，m[i][j]等于本身的值加上上面一行和自己相邻两数的最大值。相关代码如下：

for(int j = 1; j <= n; j++)

        m[n][j] = a[n][j];

    for(int i = n - 1; i >= 1; i--) {

        for(int j = 1; j <= i; j++) {

            m[i][j] = a[i][j] + max(m[i + 1][j], m[i + 1][j + 1]);

        }

    }

    cout << m[1][1] << endl;

 

全部代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
int a[105][105];
int m[105][105];
int max(int a, int b) {
    if(a > b) return a;
    else return b;
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= i; j++) {
            cin >> a[i][j]; 
        }
    }
    int sum = 0;
    for(int j = 1; j <= n; j++)
        m[n][j] = a[n][j];
    for(int i = n - 1; i >= 1; i--) {
        for(int j = 1; j <= i; j++) {
            m[i][j] = a[i][j] + max(m[i + 1][j], m[i + 1][j + 1]);
        }
    }
    cout << m[1][1] << endl;
    return 0;
} 

 

4.算法时间及空间复杂度分析

因为在动态规划中存在双重循环，所以上面的算法的时间复杂度是O(n²)，空间复杂度同原始的数组一样大小。

5.心得体会

我对于动态规划法还不是十分熟练，还有很长一段把路要走，虽然在结对编程中做出了两道题，但是我个人对此并不很了解，所以还是要再多看书多看例题。