文献分享 | 二、基于非同质分配规则的寻租

Nitzan（1991）《Rent-seeking with non-identical sharing rules》论文解读

文献信息：Shmuel Nitzan. Rent-seeking with non-identical sharing rules. Public Choice, 71: 43-50, 1991.

阅读定位：本文是一篇理论博弈论文，而不是实验或实证论文。它研究的是：集体寻租中，竞争组织采用不同的内部租金分配制度时，纯策略纳什均衡是否存在。

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一、文章提出的问题

1.1 研究背景

传统寻租理论常关注租金争夺会造成多少资源耗散（rent dissipation）。Nitzan 认为，仅讨论投入规模还不够：非合作博弈还可能出现两个更基础的问题：

1. 均衡不存在（non-existence of equilibrium）；
2. 存在多个均衡（multiple equilibria）。

本文研究第一个问题。与经典的个人寻租模型不同，竞争者不再是彼此独立的个人，而是由多个成员组成的两个组织。成员既要共同与另一组织争夺租金，又要在本组织内部按既定规则分享获胜后的租金。

1.2 核心研究问题

论文的核心问题可写成：

\[\text{不同组织的内部租金分配规则，是否会导致集体寻租博弈不存在纳什均衡？} \]

作者重点考察一类介于两种极端制度之间的规则：一部分租金平均分给成员，剩余部分按成员相对努力分配。

两种极端规则为：

\[a_i=0 \quad\Longrightarrow\quad \text{第 }i\text{ 组完全按成员相对努力分配租金；} \]

\[a_i=1 \quad\Longrightarrow\quad \text{第 }i\text{ 组完全平均分配租金。} \]

论文要回答的不是哪种规则“更公平”，而是制度差异会不会破坏个体最优反应之间的相容性，从而使稳定的策略组合根本不存在。

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二、文章如何解决问题

2.1 基本方法

作者将 Tullock 型寻租竞赛扩展为一个两组集体寻租模型，并按以下步骤分析：

1. 建立两个组织竞争固定租金的竞赛模型；
2. 设定组内成员自愿投入，且成员的预期收益取决于本组获胜概率、个人投入和组内分享规则；
3. 对个人投入求最优反应的一阶条件；
4. 在组内成员对称投入的候选均衡下，将个人层面的条件转为组总投入关系；
5. 分别研究：
   • 两组采用完全相反的极端规则时，均衡存在的必要条件；
   • 两组采用一般但不同的规则时，均衡不存在的充分条件。

2.2 主要结论

1. 若一组完全平均分配租金、另一组完全按相对努力分配租金，并且两组均至少有两名成员，则纯策略纳什均衡不存在。
2. 更一般地，若两组分享规则的差异相对于其人数足够大，则不存在均衡。
3. 若两组采用完全相同的分享规则，论文认为均衡存在性得到保证。
4. 当两组人数相同且规模增大时，触发均衡不存在所需的制度差异会越来越小。

这些结论是模型内部的理论结论，并不等于真实组织、游说集团或团队竞争必然不存在稳定行为。

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三、模型建立与基础推导

3.1 参与者、投入与竞赛成功函数

设有两个组织，记为 i = 1, 2。第 i 组有 n(i) 位成员，总人数为

\[N=n(1)+n(2). \]

第 i 组成员 k 的寻租投入为 Xₖᵢ ≥ 0。第 i 组总投入为

\[X_i=\sum_{k=1}^{n(i)}X_{ki}, \]

两组总投入为

\[X=X_1+X_2. \]

两组争夺一项固定、可分割的租金 S > 0。沿用 Tullock 型竞赛成功函数，第 i 组获胜的概率为

\[\Pi_i(X_1,X_2)=\frac{X_i}{X}. \tag{1} \]

因此，组织投入越大，赢得租金的概率越高；但概率只取决于其投入占两组总投入的相对份额。

3.2 组内租金分享规则

设 aᵢ ∈ [0, 1] 为第 i 组实行平均分配的比重。该组成员 k 获得的租金份额是

\[f_{ki} = (1-a_i)\frac{X_{ki}}{X_i} + \frac{a_i}{n(i)}. \tag{3} \]

其中：

• (1 − aᵢ)Xₖᵢ/Xᵢ：按相对努力分配的部分；
• aᵢ/n(i)：平均分配的部分；
• aᵢ = 0：全部按努力分配；
• aᵢ = 1：全部平均分配。

3.3 个体预期收益与一阶条件

成员 k 在第 i 组的预期收益为

\[V_{ki} = \Pi_i\cdot S f_{ki}-X_{ki}. \]

将式（1）和式（3）代入，可得

\[V_{ki} = S(1-a_i)\frac{X_{ki}}{X} + S\frac{a_iX_i}{n(i)X} -X_{ki}. \tag{5} \]

对 Xₖᵢ 求导，得到内点最优的一阶条件：

\[\frac{\partial V_{ki}}{\partial X_{ki}} = S(1-a_i)\frac{X-X_{ki}}{X^2} + S\frac{a_i(X-X_i)}{n(i)X^2} -1 =0. \tag{6} \]

该目标函数对 Xₖᵢ 是凹的，因此在内点范围内，一阶条件给出唯一的个人最优选择条件。

3.4 组内对称均衡条件

考虑组内对称的均衡候选：第 i 组所有成员投入相同，记为

\[X_{ki}=x_i, \qquad X_i=n(i)x_i. \]

将其代入式（6），再乘以 n(i)X²/S，得到第 i 组的均衡条件：

\[n(i)(1-a_i)(X-x_i)+a_i(X-X_i) = \frac{X^2n(i)}{S}. \tag{7} \]

后续所有命题都从这组条件出发。

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四、极端异质制度：均衡存在的必要条件及其矛盾

4.1 制度设定

令第 1 组完全平均分配，第 2 组完全按努力分配：

\[a_1=1, \qquad a_2=0. \]

这代表两组制度的最大差异。

4.2 分别写出两组的一阶条件

第 1 组的 a₁ = 1。代入式（7）：

\[n(1)(1-1)(X-x_1)+1\cdot(X-X_1) = \frac{X^2n(1)}{S}. \]

第一项为零，因此

\[X-X_1=\frac{X^2n(1)}{S}. \tag{10} \]

第 2 组的 a₂ = 0。代入式（7）：

\[n(2)(1-0)(X-x_2)+0\cdot(X-X_2) = \frac{X^2n(2)}{S}. \]

约去 n(2)，得到

\[X-x_2=\frac{X^2}{S}. \tag{9} \]

4.3 推导总投入与第 2 组个人投入的关系

用式（10）除以式（9）：

\[\frac{X-X_1}{X-x_2} = \frac{X^2n(1)/S}{X^2/S} =n(1). \]

又因为

\[X-X_1=X_2=n(2)x_2, \]

故

\[\frac{n(2)x_2}{X-x_2}=n(1). \]

整理：

\[n(2)x_2=n(1)(X-x_2), \]

\[[n(1)+n(2)]x_2=n(1)X. \]

因此

\[X=\frac{n(1)+n(2)}{n(1)}x_2 =\frac{N}{n(1)}x_2. \tag{13} \]

4.4 解出投入水平

由式（13），有

\[X-x_2 = \frac{N}{n(1)}x_2-x_2 = \frac{n(2)}{n(1)}x_2. \]

将它和式（13）代入式（9）：

\[\frac{n(2)}{n(1)}x_2 = \frac{1}{S} \left(\frac{N}{n(1)}x_2\right)^2. \]

对正投入候选解约去 x₂，可得

\[x_2=\frac{n(1)n(2)S}{N^2}. \tag{14} \]

代回式（13）：

\[X=\frac{n(2)S}{N}. \tag{15} \]

而第 2 组总投入为

\[X_2=n(2)x_2 = \frac{n(1)n(2)^2S}{N^2}. \]

4.5 得到均衡存在的必要条件

若两组都积极参与，则第 1 组必须有正总投入：

\[X_1=X-X_2>0. \]

等价于

\[X>X_2. \]

代入上面的 X 与 X₂：

\[\frac{n(2)S}{N} > \frac{n(1)n(2)^2S}{N^2}. \]

约去正数 n(2)S/N²，得到

\[N>n(1)n(2). \]

即

\[\boxed{ n(1)+n(2)>n(1)n(2) }. \tag{17} \]

这只是该正投入对称均衡候选存在的必要条件。但当

\[n(1)\ge2, \qquad n(2)\ge2, \]

有

\[n(1)n(2)\ge n(1)+n(2), \]

从而与式（17）的严格不等式矛盾。因此：

\[\boxed{ a_1=1,\ a_2=0,\ n(1),n(2)\ge2 \quad\Longrightarrow\quad \text{不存在纯策略内点对称纳什均衡。} } \]

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五、一般制度异质性：均衡不存在的充分条件推导

5.1 一般设定

现在允许两组采用任意中间规则，并不失一般性地假定

\[a_1\ge a_2. \]

即第 1 组的平均分配程度至少不低于第 2 组。

将式（7）分别除以 n(1) 与 n(2)，两组的一阶条件为

\[(1-a_1)(X-x_1)+\frac{a_1}{n(1)}X_2 =\frac{X^2}{S}, \tag{19} \]

\[(1-a_2)(X-x_2)+\frac{a_2}{n(2)}X_1 =\frac{X^2}{S}. \tag{20} \]

5.2 将条件改写为组总投入关系

由于

\[x_1=\frac{X_1}{n(1)}, \qquad x_2=\frac{X_2}{n(2)}, \qquad X=X_1+X_2, \]

所以

\[X-x_1 = \frac{n(1)-1}{n(1)}X_1+X_2, \]

\[X-x_2 = X_1+\frac{n(2)-1}{n(2)}X_2. \]

代入式（19）可得

\[\frac{(1-a_1)[n(1)-1]}{n(1)}X_1 + \left(1-a_1+\frac{a_1}{n(1)}\right)X_2 = \frac{X^2}{S}. \tag{19'} \]

代入式（20）可得

\[\left(1-a_2+\frac{a_2}{n(2)}\right)X_1 + \frac{(1-a_2)[n(2)-1]}{n(2)}X_2 = \frac{X^2}{S}. \tag{20'} \]

5.3 消去共同右端项

式（19'）和式（20'）的右端都等于 X²/S。令其左端相等并整理，得到

\[\left[ n(1)n(2)(a_2-a_1)+n(2)a_1+n(1)(1-a_2) \right]X_2 \]

\[= \left[ n(1)n(2)(a_1-a_2)+n(1)a_2+n(2)(1-a_1) \right]X_1. \]

因此，组总投入必须满足

\[X_2=X_1A, \]

其中

\[A= \frac{ n(1)n(2)(a_1-a_2)+n(1)a_2+n(2)(1-a_1) }{ n(1)n(2)(a_2-a_1)+n(2)a_1+n(1)(1-a_2) }. \tag{22} \]

又因为 X₁ = n(1)x₁、X₂ = n(2)x₂，这等价于

\[X_2=n(2)x_2=n(1)x_1A. \tag{21} \]

5.4 从非负投入约束推出“不存在”的充分条件

记 A 的分子为

\[C= n(1)n(2)(a_1-a_2)+n(1)a_2+n(2)(1-a_1). \]

在 a₁ ≥ a₂ 的通常非退化情形下，C > 0。记其分母为

\[D= n(1)n(2)(a_2-a_1)+n(2)a_1+n(1)(1-a_2). \]

若 D < 0，则

\[A=\frac{C}{D}<0. \]

而两组正投入的均衡候选要求 X₁ > 0 且 X₂ > 0。但此时

\[X_2=X_1A<0, \]

与投入非负约束矛盾。因此，D < 0 足以推出均衡不存在。

将 D < 0 移项并展开：

\[n(1)n(2)(a_1-a_2)-n(2)a_1-n(1)(1-a_2)>0, \]

\[a_1[n(1)n(2)-n(2)] -a_2[n(1)n(2)-n(1)] -n(1)>0. \]

定义

\[B= a_1[n(1)n(2)-n(2)] -a_2[n(1)n(2)-n(1)] -n(1). \]

论文的 Proposition 2 即为

\[\boxed{ B>0 \quad\Longrightarrow\quad \text{集体寻租博弈不存在均衡。} } \tag{18} \]

逻辑链条是

\[B>0 \Longrightarrow D<0 \Longrightarrow A<0 \Longrightarrow X_2=X_1A<0, \]

但 X₂ < 0 不可行，故不存在均衡。

5.5 必要条件、充分条件与 B = 0 的区别

必须区分下列三个命题：

\[B>0 \Longrightarrow \text{不存在均衡} \]

表示 B > 0 是均衡不存在的充分条件。

它的逆否命题是

\[\text{均衡存在} \Longrightarrow B\le0, \]

所以 B ≤ 0 是均衡存在的必要条件，但不是充分条件。

若进一步限定讨论两组均有正投入的内点均衡，且 C > 0，则由

\[X_2=X_1\frac{C}{-B}>0 \]

可知必须有

\[\boxed{B<0}. \]

因此，B < 0 是正投入内点均衡存在的必要条件。边界情形 B = 0 会使比例表达式的分母为零；在 C > 0 时，它不能支持两组均为正投入的内点解。论文把命题表述为 B > 0 足以推出均衡不存在，因此在逻辑上较为保守。

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六、模型含义与现实解释力

6.1 经济直觉

平均分配提高时，个人努力与个人收益之间的联系减弱，搭便车问题更强；按努力分配提高时，个人增加投入的私人收益更强。两组采用不同制度时，它们成员的投入反应机制不同。

制度差异足够大时，一方的最优反应要求可能意味着另一方投入为负，或者使双方最优反应无法同时成立。这里的“均衡不存在”不是指参与者没有行动，而是指不存在一组彼此互为最优反应的稳定纯策略投入。

6.2 等规模组织的推论

若两组规模相同，令

\[n(1)=n(2)=n^*, \]

则论文给出的一个均衡不存在条件可化为

\[\boxed{ a_1-a_2>\frac{1}{n^*-1}. } \]

随着组织规模增大，阈值下降：

\[\lim_{n^*\to\infty}\frac{1}{n^*-1}=0. \]

这意味着在大规模且人数相近的组织竞争中，即便内部激励制度只有较小差异，也更可能破坏稳定均衡。

6.3 适用范围与局限

该模型可用于理解游说联盟、行业团体、部门预算竞争、利益集团竞争或团队竞赛中的一个重要问题：内部激励制度不仅影响组织内部的搭便车，也会影响组织之间竞争是否稳定。

但不宜将结论直接外推到现实世界。论文依赖以下假设：

• 只有两个竞争组织；
• 成员同质且风险中性；
• 租金规模固定；
• 寻租成本等于投入；
• 成功概率服从 Tullock 型函数；
• 成员可自由、同时选择投入；
• 未引入重复互动、谈判、领导者协调、退出、契约约束和异质能力。

因此，本文证明的是特定制度化模型中的均衡存在性结果，而不是对现实政治或市场竞争的直接因果证据。

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