文献分享 | 一、集体租金消散（Nitzan）

《Collective Rent Dissipation》文章解读

作者：Shmuel Nitzan
发表：1991 年

一、文章提出了什么问题？

1. 研究的现实场景

设想政府有一笔补贴、项目资金或政策优惠，多个行业、地区、政党或利益集团都想获得它。为了增加胜算，各方会投入游说、宣传、组织动员等资源。这些投入本身不创造新的价值，而是为了争夺既有利益。

文章把这类“为了获得既有利益而投入资源”的行为称为 寻租（rent seeking）；把竞争过程中被耗掉的资源称为 租金耗散（rent dissipation）。这里的“租金”不是房租，而是指一项可被争夺的额外利益。

2. 传统解释的不足

传统模型往往把竞争者设为彼此独立的个人。在参与者很多时，模型容易得出这样的结论：大家为争夺一笔价值为 S 的利益，合计投入可能接近 S 本身；也就是几乎把全部利益都浪费在竞争中。

作者认为，这种处理遗漏了现实中十分重要的一点：现实里的竞争者通常是团体，而不是单个个人。

一旦竞争由团体进行，就会出现团体内部的协调问题：

• 成员会不会觉得“别人努力就够了”，从而搭便车？
• 团体赢得利益后，是平均分，还是谁贡献多谁分得多？
• 团体人数越多，究竟更有组织力量，还是更难动员？
• 因此，社会实际浪费会不会明显低于传统模型的预测？

3. 文章的核心问题

文章要回答的是：

当多个由个人组成的团体竞争一笔利益时，团体内部的分配规则、团体数量和团体规模，如何共同决定社会为竞争而浪费的资源？

它的核心结论是：不能仅凭可争夺利益的规模来判断浪费规模；还必须知道竞争团体的数量、成员规模，以及团体内部怎样分配获胜后的利益。

---

二、文章如何解决这个问题？

作者把“团体之间的竞争”和“团体内部的个人激励”放进同一个模型中。

模型的逻辑链条如下：

个人决定投入多少
        ↓
个人投入汇总为团体投入
        ↓
团体投入决定团体的获胜概率
        ↓
获胜收益按内部规则分给成员
        ↓
成员据此重新判断是否值得投入

文章首先分析两个极端，再研究现实中更常见的混合情况：

1. 完全按贡献分配：谁为团体投入得多，谁得到的份额更大；
2. 完全平均分配：团体成员不论投入多少，都平均分享；
3. 混合分配：一部分平均分，另一部分按个人贡献分。

这样，作者能够比较不同组织规则下，个人的投入意愿、团体胜率和社会总浪费如何变化。

---

三、模型的建立与推导过程

1. 基本设定与符号

有 n 个团体竞争一笔固定利益，利益价值为 S。

• 团体 i 的成员数为 mᵢ；
• 全部潜在参与者人数为：

\[N=\sum_{i=1}^{n}m_i; \]

• 团体 i 中成员 k 的个人投入为 xₖᵢ；
• 团体 i 的总投入为：

\[X_i=\sum_{k=1}^{m_i}x_{ki}; \]

• 所有团体的总投入为：

\[X=\sum_{i=1}^{n}X_i. \]

起初，作者假定所有人拥有相同财富 y、不怕风险，并且每个人都自愿决定投入多少：

\[0\leq x_{ki}\leq y. \]

这使模型聚焦于一个问题：成员不是被组织强制动员，而是在衡量个人得失后自愿决定投入。

2. 团体的获胜概率

作者设定团体 i 获胜的概率为：

\[\pi_i=\frac{X_i}{X}. \]

含义是：一个团体的投入占全部竞争投入的比例，等于其获胜概率。

选择这种设定有两个原因：

• 投入越多，应当提高获胜机会；
• 政治或政策竞争通常有不确定性，投入不能保证获胜，只能提高胜率。

3. 团体内部如何分配获胜利益

令 a ∈ [0, 1] 为“平均分”的程度。成员 k 在团体 i 获胜后得到利益 S 的比例为：

\[f_{ki}=(1-a)\frac{x_{ki}}{X_i}+\frac{a}{m_i}. \]

这条规则由两部分组成：

\[\underbrace{(1-a)\frac{x_{ki}}{X_i}}_{\text{按贡献分配}} + \underbrace{\frac{a}{m_i}}_{\text{平均分配}}. \]

• 当 a = 0 时：全部按贡献分配；
• 当 a = 1 时：全部平均分配；
• 当 0 < a < 1 时：两种规则并存。

这一设定是全文的关键。按贡献分能让个人从自己的额外努力中直接获益；平均分则弱化这种直接激励，并放大搭便车问题。

4. 个人的预期收益

若团体获胜，成员保有初始财富 y，获得 Sfₖᵢ，同时仍承担投入 xₖᵢ。若团体失败，成员没有奖励，仍承担投入。于是：

\[V_{ki} = \pi_i\left[y+Sf_{ki}-x_{ki}\right] + (1-\pi_i)\left[y-x_{ki}\right]. \]

将 πᵢ = Xᵢ/X 和分配规则代入，并整理，可得：

\[V_{ki} =y-x_{ki} +S\left[ (1-a)\frac{x_{ki}}{X} +\frac{a}{m_i}\frac{X_i}{X} \right]. \]

这个式子可以逐项理解：

• y − xₖᵢ：个人无论输赢都要承担自己的投入；
• S(1 − a)xₖᵢ/X：按贡献分带来的预期收益；个人投入越多，自己的份额越大；
• SaXᵢ/(mᵢX)：平均分部分的预期收益；个人只能通过提高本团的胜率而间接受益，且收益还要由 mᵢ 人分享。

5. 个人最优投入：一阶条件

每名成员选择 xₖᵢ，使自己的预期收益 Vₖᵢ 最大。对 xₖᵢ 求导，并把其他人的投入暂时看作给定，得到：

\[\frac{\partial V_{ki}}{\partial x_{ki}} = S(1-a)\frac{X-x_{ki}}{X^2} + \frac{Sa}{m_i}\frac{X-X_i}{X^2} -1=0. \]

这表示：

\[\text{增加最后一单位投入的预期收益} = \text{增加最后一单位投入的成本}. \]

其中，−1 是额外投入的一单位成本。前两项则是额外投入带来的两种收益：

1. 增加个人在按贡献分部分的份额；
2. 增加团体的总投入和获胜概率，从平均分部分获益。

第二项中有 1/mᵢ，这揭示了搭便车机制：团体人数越多，个人从“提高团体胜率”中能获得的份额越小，个人就越不愿投入。

作者检验二阶导数为负，因此在内部解条件下，上述一阶条件确实对应预期收益最大化。

6. 团体内部对称均衡

在同一团体中，成员的条件相同，因此均衡时每名成员投入相同。令：

\[x_{ki}=x_i, \qquad X_i=m_ix_i. \]

将其代入一阶条件，可得每个团体的均衡条件：

\[S(1-a)(X-x_i) + \frac{Sa}{m_i}(X-X_i) =X^2. \]

以下所有结果都从这条式子推出。

7. 极端情形一：完全按贡献分配 a = 0

均衡条件变为：

\[S(X-x_i)=X^2. \]

所有团体面对同一个右边 X²，所以每个人投入相同，记为 x。由于 X = Nx，代入上式：

\[S(Nx-x)=N^2x^2. \]

整理：

\[S(N-1)x=N^2x^2, \]

从而：

\[x=\frac{S(N-1)}{N^2}. \]

总投入为：

\[X=Nx=\frac{S(N-1)}{N}. \]

因此，耗散率为：

\[\frac{X}{S}=\frac{N-1}{N}. \]

当总人数 N 很大时，这个比例接近 1。这意味着：即便竞争以团体形式进行，只要完全按个人贡献分配，团体内部的激励足以抵消搭便车，整体浪费仍接近传统个人竞争模型的结果。

此时：

\[\pi_i=\frac{X_i}{X}=\frac{m_i}{N}. \]

所以成员更多的团体总投入更多，胜率也更高。

8. 极端情形二：完全平均分配 a = 1

均衡条件变为：

\[\frac{S}{m_i}(X-X_i)=X^2. \]

整理为：

\[X-X_i=\frac{m_iX^2}{S}. \]

对所有团体求和：

\[\sum_{i=1}^{n}(X-X_i) = \sum_{i=1}^{n}\frac{m_iX^2}{S}. \]

左边等于 (n − 1)X，右边等于 NX²/S，因此：

\[(n-1)X=\frac{NX^2}{S}. \]

解得：

\[X=\frac{S(n-1)}{N}. \]

耗散率为：

\[\frac{X}{S}=\frac{n-1}{N}. \]

通常团体数量 n 远小于总人数 N，所以这一耗散率可能很低。原因是完全平均分时，个人额外努力不会提高自己在团体内的份额，只会略微提高团体胜率；成员越多，个人越倾向于搭便车。

由

\[X-X_i=\frac{m_iX^2}{S} \]

还可以看出：团体越大，Xᵢ 越小。因此完全平均分时，小团体更容易动员成员、更可能获胜；大团体则受搭便车问题的影响更大。

9. 一般情形：混合分配 0 < a < 1

从团体均衡条件出发：

\[S(1-a)(X-x_i)+\frac{Sa}{m_i}(X-X_i)=X^2. \]

两边乘以 mᵢ：

\[m_iX^2 =S(1-a)(m_iX-X_i)+Sa(X-X_i). \]

对所有团体求和：

\[NX^2 =S(1-a)(NX-X)+Sa(nX-X). \]

将右侧提取 SX：

\[NX^2 =SX\left[(1-a)(N-1)+a(n-1)\right]. \]

除以 NX，得到总投入：

\[\boxed{ X =S\cdot\frac{(1-a)N+an-1}{N} }. \]

令 D = X/S 为耗散率，则：

\[\boxed{ D=\frac{(1-a)N+an-1}{N} }. \]

这就是文章最核心的结果。

10. 核心公式的比较静态含义

团体数量的影响：

\[\frac{\partial D}{\partial n}=\frac{a}{N}\geq0. \]

在其他条件相同时，竞争团体越多，耗散通常越高。例外是 a = 0：完全按贡献分时，团体怎么划分不影响总投入。

平均分程度的影响：

\[\frac{\partial D}{\partial a}=\frac{n-N}{N}\leq0. \]

通常 N > n，因此平均分程度越高，耗散越低。原因是按贡献分的个人激励被削弱，搭便车更明显。

总人数的影响：

将耗散率改写为：

\[D=(1-a)+\frac{an-1}{N}. \]

于是：

\[\frac{\partial D}{\partial N}=\frac{1-an}{N^2}. \]

• 若 a < 1/n，增加人数提高耗散率；
• 若 a = 1/n，增加人数不影响耗散率；
• 若 a > 1/n，增加人数降低耗散率。

这与“参与者越多，浪费一定越多”的直觉不同。若平均分成分足够强，增加成员主要强化搭便车，而非增加有效竞争。

11. 对财富差异和风险的扩展

若不同团体成员拥有不同财富，且每个人仍有能力按内部均衡要求投入，则基本公式不变；但财富会形成投入上限。若较穷成员无法投入模型要求的金额，就会出现边界情形，总投入低于基本公式的预测。

若成员害怕风险，作者把实际价值 S 换成风险调整后的等价价值 Sʰ。总投入写成：

\[X=S^hD. \]

通常风险厌恶意味着：

\[S^h<S. \]

因此，越害怕风险，成员越不愿为不确定的获胜结果投入，耗散会进一步降低。

---

四、文章模型对于现实解释力的分析

1. 作者如何把模型用于现实？

文章没有直接观测每个人究竟花了多少游说费用，而是采取“理论校准”的方式，对 20 个国家的政府预算争夺重新估算寻租浪费。

其思路是将模型中的变量用现实中可观察的数据近似：

模型变量	现实中的近似指标
S：可争夺利益	政府年度预算变动额
n：竞争团体数	议会中有代表的政党数
N：潜在参与者总数	议员总数
a：团体内部平均分程度	无法直接观测，因此分别考察两个极端值

作者分别使用：

\[a=0 \qquad\text{和}\qquad a=1 \]

来给出“完全按贡献分”和“完全平均分”两种情况下的估计范围。

2. 对预算变动的进一步拆分

作者不认为全部预算变动都属于同一种竞争。他假设预算变动大致可分为三等份：

1. 给个人的私人转移；
2. 给团体的私人转移；
3. 用于公共品的支出。

对于第一类，采用传统个人竞争模型的较高耗散假设；对于第二类，使用本文推导出的团体竞争公式；对于第三类，采用适用于公共品竞争的耗散率。

这种拆分的用意是：不同类型的预算收益，受益者组织方式不同，不能用同一种“全部耗散”假设处理。

3. 实证应用得到的结果

作者计算了各国寻租投入占政府预算的比例，以及占国民生产总值的比例，并与早期研究的估计比较。

主要发现是：若把现实中的竞争者理解为团体，而非大量互不关联的个人，预测出的资源浪费会明显下降。

• 在 a = 1 的完全平均分情形下，修正后的估计平均约为旧估计的 1/2.7；
• 在 a = 0 的完全按贡献分情形下，修正后的估计平均约为旧估计的 1/1.4。

由此，作者说明本文公式具有一种现实解释力：同样规模的财政利益，在不同国家可能引发不同程度的寻租浪费，因为各国的政治团体数量和潜在参与者数量不同。

4. 这种现实解释的边界

文章的经验部分更接近“用现实数据说明理论量级可能不同”，而不是严格的因果检验。它有几个明显限制：

• 政党数不一定等于真正参与争夺资源的利益集团数；
• 议员数不一定等于实际投入游说的人数；
• 团体内部的分配参数 a 无法直接测量；
• 将预算变动平均分成三类是便于估算的假设，并非直接观察结果；
• 不同国家的政治制度、游说合法性、政策执行能力和利益集团结构并未被完整纳入。

因此，这一部分不能证明模型已被完全验证，但能表明：采用“团体竞争 + 内部分配规则”的视角，会系统性改变我们对寻租浪费规模的判断。

---

五、总结

文章最重要的公式是：

\[\boxed{ X =S\cdot\frac{(1-a)N+an-1}{N} } \]

它告诉我们，竞争带来的资源浪费 X 不仅由利益规模 S 决定，还取决于：

• 有多少团体参与竞争（n）；
• 总共有多少潜在参与者（N）；
• 团体内部有多大程度平均分配成果（a）。

因此，文章对传统结论的修正是：并非所有可争夺利益都会被几乎完全耗散。若竞争者是团体，且团体内部的奖励较平均地分配，搭便车会压低成员投入，社会实际浪费可能远小于利益本身。

参考文献

Nitzan, Shmuel. “Collective Rent Dissipation.” The Economic Journal, vol. 101, no. 409, 1991, pp. 1522-1534.