P10571 题解

个人认为还是一道很有意思的题目，比赛的时候差点就做出来了嘤嘤嘤。

方法

我先说一下方法，然后再说一下为什么这个方法是正确的：

从开始往后遍历，遇到 \(1\)，\(2\)，\(4\)，\(8\)，\(65536\)，就在这个子串的末尾打 tag，tag 怎么打都行只要别是其中的一个。每打一个 tag 都要加一。

为什么要打 tag？

很简单，遇到这种字符串 655368 的时候你可以脱口而出说改 \(2\) 次，655365536 这种串时如果不打 tag 会输出 \(2\) 次，但实际上只需要修改夹在中间的 6，即 \(1\) 次。

为什么 sol 这么简单？这样的话它配黄题吗？

证明这个 sol 的正确性就只要证明对于任意一个 \(2^n\ (n\in \mathbb{N}_{+})\) ，它的字符串表示中只会包含 \(1,2,4,8,65536\)。这个看上去很难证明，不过计算机证明，在足够大的范围内这是正确的。

但是数据范围是 \(1\le n\le 10^{10^6}\)，所以不可能只用电脑蛮力证明。不过还真有一哥们发了篇 paper，虽然没指出如何证明，但指出了一条留给后人证明的道路，paper link。

在这里贴出代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define rty printf("Yes\n");
#define RTY printf("YES\n");
#define rtn printf("No\n");
#define RTN printf("NO\n");
#define rep(v,b,e) for(int v=b;v<=e;v++)
#define repq(v,b,e) for(int v=b;v<e;v++)
#define rrep(v,e,b) for(int v=b;v>=e;v--)
#define rrepq(v,e,b) for(int v=b;v>e;v--)
#define stg string
#define vct vector
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;

void solve() {
	
}

main() {
//	int t; cin >> t; while (t--) solve();
  stg s;
  cin >> s;
  int len = s.size();
  int cnt = 0;
  for (int i = 0; i < len; i++) {
    if (s[i] == '1' || s[i] == '2' || s[i] == '4' || s[i] == '8') {
      cnt++;
      s[i] = '@';
    }
  }
  
  for (int i = 0; i < len - 4; i++) {
    if (s[i] == '6' && s[i + 1] == '5' && s[i + 2] == '5' && s[i + 3] == '3' && s[i + 4] == '6') {
      cnt++;
      s[i + 4] = '@';
    }
  }
  cout << cnt;
	return 0;
}