2025年代码源贵阳集训复盘-后

Day2 数据结构1

CF1474C

确定$x$后，可以逐步推导出所有数。使用一个set维护剩余数字，模拟过程并判断是否可行。

P4587

通过模拟发现，设当前值域为$[1, x]$，能表示出$[1, s]$的数，则必须存在$s+1$。如果不存在，则神秘数为$s+1$；否则，将值域扩展到$[x+1, s+1]$，和变为$[1, s + sum_{x+1}^{s+1}]$。注意到操作次数小于log(n)，因此可以对每个区间暴力模拟。使用主席树维护下标区间上的值信息。

P5268

通过差分处理询问，然后使用莫队算法维护$sum$。拆解括号后，将每个单项式视为一个询问，每次移动只会改变一个$cnt$。

Day3 数据结构2

CF1208D

采用倒序处理，使用线段树维护区间和。

CF1690G

对于区间类问题，使用set维护起点信息，并通过二分查找进行搜索。

CF1913D

使用动态规划（DP），设$dp_i$表示以$i$结尾的子序列的信息。通过单调栈维护前缀最小值，考虑$dp_i$可以从哪里转移：第一个小于$a_i$的数之后的点可以作为新区间被删除，还包括单调栈中的点。最终答案一定由单调栈中的点构成。

CF2000H

查询连续1的个数，类似于最大子段和问题。维护三个值：当前最大值、左侧最大值和右侧最大值。在push_up操作时合并这些值。

P7706

使用线段树维护区间信息。将表达式拆解为$a_i - b_j$和$a_k$，或者$a_i$和$-b_j + a_k$。线段树维护最大、最小、$a_i - b_j$、$-b_j + a_k$等标签，并进行合并操作。

CF1638E

采用颜色段均摊策略，合并时维护原$sum$与新颜色$sum$的差值。使用树状数组进行区间求和，最后进行单点查询并加上当前颜色的$sum$。

P6617

注意到如果$w - a_i$出现在前一个$a_i$之前，则无意义，直接设置为0。因此只需维护少数关键点：当前点、原点的后一个相同点、原点的后一个$w - a_i$点、新点的后一个相同点、新点的后一个$w - a_i$点。

HDU7436 & CF813F

采用线段树分治，在区间上维护整个时间段都存在的边，然后在线段树上进行DFS。使用可撤销并查集维护连通性，当$l=r$时，给find(1)打上标记。在merge和roll-back操作时，使用类似前几题的差值方法维护被合并节点的$time$。

T-shirt问题

考虑每个产品能被多少顾客购买。通过对产品排序，从小到大扫描，快速计算有多少顾客能买得起$c_i$。使用平衡树，暴力split出$≥c_i$的位置并直接相加。通过势能分析，平衡树维护相对顺序，只有区间$[c_i, 2×c_i - 1]$内的顾客会改变相对顺序。修改一次会使原数减半，因此删除一个数最多需要$log(c_i)$次操作，总修改次数为$n log(V)$。

Day5 数据结构3

CF459D

维护类似逆序对的结构即可。

CF1849E

采用扫描线策略，扫描r并计算$f(l,r)$表示$l$到$r$是否满足条件，以及如何转移到$f(l,r+1)$。分类讨论发现，仅当$a_{r+1}$是最大值或最小值时才有影响。使用单调栈维护前缀最大和最小值，在线段树上直接修改每个l对应的$f(l,r)$。

CF526F

等价于区间连续段问题，即区间内连续满足$max - min = r - l$。维护$f(l,r) = max - min - (r - l)$，对每一项单独维护，最终查询$f(l,r)=0$的个数。转化为图论问题，对相邻数连边，令$f(l,r)$为点减边。每更新一个$r+1$，点加一，相邻边加一。

Day6 字符串

CF176B

如果$t$能还原成$s$，则可以通过一次操作完成。因此，所有不等于s但能变成s的字符串是等价的。于是有$dp_{i,0/1}$表示操作i步后是否是原串的个数。转移方程为：$dp_{i,0} = dp_{i-1,1}，dp_{i,1} = dp_{i-1,0} × (n-1) + dp_{i-1,1} × (n-2)$。

P4824

直接使用字符串哈希。

CF1721E

KMP自动机模板题，维护$aut$表示在第$i$个字符后添加字符$c$会跳转到的位置。

CF898F

注意加数和和的长度差不超过1。基数$base$为10，直接使用字符串哈希求解，可采用双模数或随机模数。

P8131

首先使用$Manacher$算法求出以每个点为中心的最长回文串长度。采用贪心策略，尽可能删除左边和右边的字符，最终得到一段连续字符串作为答案。模拟验证正确性。

P4696

问题与KMP相似，转化为判断子区间是否相同。由于是排列，比$x$大的数等于比$y$大的数，比$x$小的数等于比$y$小的数。使用树状数组维护，进一步地，只需x的前驱和y的前驱位置相同，$x$的后继和$y$的后继位置相同，则$x$和$y$匹配。每个$y$的限制位置与$a$数组中$x$的限制位置相同，因此$x$和$y$匹配。

Day7 动态规划1

CF1849D

直接贪心求解。连续1段中包含2时可以照顾两边的0，否则只能照顾一边。模拟求出未被覆盖的0的数量，加上连续段的数量。

CF1077F2

直接使用单调队列优化动态规划，注意转移过程。

CF1874C

概率动态规划问题。从下往上考虑图上的DP，节点u的DP值由子节点v的DP值决定。有$dp_u = ∑ dp_v × P_{u,v}$，其中$P_{u,v}$是从$u$走到$v$的概率。$P_{u,v}$与$u$无关，只与子节点数量和$dp_v$的排名有关。每次Jellyfish选择$dp_v$最大的子节点，因此$P_{u,v}$的递推较简单。更改状态为$f_{i,j}$表示子树大小为$i$，当前排名第j位的概率。当$j=1$时，$f_{i,j} = 1/i$；否则，考虑另一条边被删除的情况，设其排名为$k$，如果$1<k<j$，则j变为剩下的$j-2$排名，概率为$f_{i-2,j-2} × (j-2)/i$；如果$j<k$，则j变为$j-1$排名，概率为$f_{i-2,j-1} × (i-j)/i$。综合得到转移方程：$f_{i,j} = f_{i-2,j-1} × (i-j)/i + f_{i-2,j-2} × (j-2)/i$。然后进行DP转移，通过DFS求解。

Day9 动态规划2

CodeForces - 1324E

简单的动态规划，设$f_{i,j}$表示第$i$次睡觉在时间j时的良好睡眠次数最大值。注意初始化memset为负无穷。

CodeForces - 2000F

简单动态规划，设$f_{i,j}$表示到第$i$个任务获得$j$分所需的最少操作次数，$f_{i,j} = min(f_{i-1,j-k} + g_{i,k})$，其中$g_{i,k}$可预处理。

CodeForces - 1557D

有效区间不超过$2×m$个，为每个区间编号。设$f_i$表示到第i个区间时最多能保留的区间数，$f_i = max{f_j} + 1$，要求区间j与i重合。使用线段树维护区间上的f值最大值，同时维护pre记录当前区间最大值下标，使用pair<int, int>进行max转移。

CodeForces - 780F

构建的道路长度为$2^i$。设$f_{p,l,r,0/1}$表示是否存在长度为$2^p$的路径从$l$到$r$的正/反路径。转移通过拼接长度为$2^{p-1}$的路径完成：$f_{p,l,r,0} = f_{p-1,l,mid,0} \And f_{p-1,mid,r,1}$。使用bitset维护f值，优化转移。

QOJ - 9879

数据范围不大，考虑乱搞。从$i$走到$i+1$的方式是先走到$(min(x_i, x_{i+1}), min(y_i, y_{i+1}))$，然后向两边走。合并两组点形成树结构，使用区间动态规划，设$f_{l,r}$为合并l到r的最小代价。合并后整个区间可视为$(min({x_i}), min({y_i}))$继续合并，预处理区间最小值。

CodeForces - 771D

将交换操作次数分配到字符上。相同字符不交换，因此相对顺序不变。贡献转化为新串T中第i个字符c与原串中第$i$个字符c之前的其他字符出现次数的差值。暴力动态规划，设$f_{i,j,k,0/1}$表示前$i+j+k$个字符中，有$i$个'v'，$j$个'K'，$k$个其他字符，当前字符是否为'v'的最小交换次数。预处理第i个字符c前的其他字符数量，实现$O(1)$转移。

CodeForces - 1601D

贪心题。按$max(s_i, a_i)$排序。分类讨论：$s_i > a_i$时，可取$s_i$；$s_i < a_i$时，如果$s_i ≥ d$则取，否则不取。策略是能取就取。

CodeForces - 311B

在直角坐标系上分析，每个饲养员管理结束时间减距离在一个区间内的猫。将结束时间减距离排序后，每个饲养员管理一个区间的猫。设$f_{i,j}$表示前i只猫用j个饲养员的最少等待时间，转移方程为$f_{i,j} = min(f_{k,j-1} + cost_{k+1,i})$，其中$cost_{l,r} = a_r × (r-l+1) - s_r + s_{l-1}$。j的范围很小，可滚动数组优化。形式可斜率优化，$y = f_{k,j-1} + s_k$，$k = a_i$，$x = k$，$b = f_{i,j} - a_i × i + s_i$。使用单调队列维护下凸包。

Day10 动态规划3

CodeForces - 1096D

水题，直接动态规划。设状态表示前i个字符不含"h"、"ha"、"har"、"hard"的最小操作次数。

P10156

分组求解。求一组内选j个人学OI的最小不满意度。设$g_{i,j,0/1}$表示前i个人选j个人，最后一个人没选的是否有伙伴的最小值。贡献绝对值拆开为$a_i + x×i + a_j - x×j$，转移明显。最后简单DP汇总各组结果。

CodeForces - 1336C

从左或右添加字符通常使用区间动态规划。设$f_{i,j}$表示t中i到j字符有多少种合成方式。转移时，如果$t_{i-1} = s_{i-j+2}$，则区间可向左拓展，$f_{i-1,j} += f_{i,j}$；向右同理。在t后添加通配符'*'，与任何字母配对。注意单个字符时可向前或向后插入，即$f_{i,i} = 2$。

Gym - 104128B

如果没有修改，直接单调队列优化动态规划。修改影响[p, n+1]的值，暴力更新复杂度$O(n^2)$。注意到修改不影响从i(i>p)到n的价值，且修改长度很小，因此记录从i到n+1的价值，对修改区间暴力更新。最终答案为$min_{i=p}{f_i + g_i - a_i}$（a_i在f_i和g_i中重复计算）。细节较多。

代码实现略。

CodeForces - 1242C

首先判断是否合法，总和模k不等于0则不合法。每个数需要交换到特定数，连边后形成环则表示这些点可通过交换变得合法。答案由若干环拼成，环经过的箱子不重复。使用动态规划，$f_i$表示能否取i中为1的箱子，转移枚举子集，$f_i = f_{i⊕s} AND vis_s$，其中$vis_s$表示是否存在s这些箱子的交换方式。记录转移来源以输出路径。

找环时维护环经过的箱子和环的行走方式，具体维护每个点的上一个点和当前点是哪个箱子的第几个数。

代码实现略。

Day11 组合数学1

CodeForces-1436C

模拟二分过程，判断哪些位置必须大于x，哪些位置必须小于等于x，然后排列组合计算。

P9306

如果将最大值放在第一位，答案较小。分类讨论：如果存在$(n,n)$对，则答案为2，总方案为$(n-1)!$；否则答案为3，那么n一定在后面。

CodeForces-1696E

第(i,j)格的贡献为$C(i+j, j)$。一行的贡献为$∑_{j=0}^{a_i} C(i+j, j) = C(i+a_i+1, a_i)$。然后$O(n)$求和。

CodeForces-571A

正难则反，计算总数减去不合法方案。总数为$∑_{i=0}^l C(i+2, 2)$。不合法方案枚举最大边a，要求$a ≥ b + c$，设a添加了l'，则b+c部分添加了$delta = min(l-l', a+l' - b - c)$。答案为$∑_{i=0}^{delta} C(i+1, 1) = ∑_{i=0}^{delta} i$，等差数列求和。

CodeForces - 1929F

将二叉搜索树转化为序列，得到一堆-1和正常数的序列，要求构造单调递增序列。考虑两个最近的非-1数a_i和a_j，中间有j-i个空格，将a_j - a_i分成j-i个非负部分插入，使用插板法解决。

CodeForces - 1227F2

先解决F1。设$f_{i,j}$表示做i题多对j题的方案数，有$f_{i,j} = f_{i,-j}$，因此严格变大方案数为$(sum - f_{i,0})/2$，sum总方案数为$k^n$。求$f_{n,0}$，考虑有i题从错变对，i题从对变错，其余不变。对变对时，只有$a_i = a_{i+1}$的情况，每种填对应数；错变错时，$a_i = a_{i+1}$有k-1种可能，否则有k-2种可能。因此，$a_i = a_{i+1}$时方案数为$k^m$，否则枚举i，$C(n-m, i)$选择0→1的位置，$C(n-m-i, i)$选择1→0的位置，乘以$(k-2)^{n-m-2i}$。

P7118

点数比原树小时可全选，使用Catalan数，$f_i = C(2i, i) - C(2i, i-1)$。计算点数相同时的方案数，DFS处理，记$dp_i$为以点i为根的子树中大小相等的小于当前树的个数。对于子树，如果左子树大小小于原树的对应子树大小，直接用Catalan数$dp_i = ∑_{i=0}^{sz_l} f_i × f_{sz_i - i - 1}$；左子树大小相等时，$dp_i = dp_l × f_{sz_r}$；右子树相等时，$dp_i = dp_r$。三者相加。枚举时启发式处理，每次枚举左右子树中较小的sz，复杂度$O(n log n)$。

CodeForces - 1237F

放横和竖不相关。设放i个竖和j个横，方案数相乘。求放i个竖的方案数，设$dp_{i,j}$表示前i个格子放j个的方案数，不放则$dp_{i,j} = dp_{i-1,j}$，放则要求当前行和前一行为空，$dp_{i,j} = dp_{i-2,j-1}$。最终答案枚举放i个竖和j个横，总方案数为$∑_{i=0}^{h/2} ∑_{j=0}^{w/2} C(ew - 2j, i) × f_{h,i} × C(eh - 2i, j) × g_{w,j}$，其中ew为空列数，eh为空行数。

Day13 组合数学2

CodeForces - 1795D

非常简单。

CodeForces - 1207D

需要容斥。$a_i$相同的可任意排序，$b_i$同理。但$a_i = b_i$的区间需减去这部分贡献以避免重复计数。

C - Sum of Goodness

计算每一位的贡献。有$a_{i-1}$个数比a_i小，因此选$C(i-1, a_{i-1})$，后面的数随便选，乘以$2^{n-i}$。限制每一位的贡献不会重复计数。

CodeForces - 1666F

更新中...

CodeForces - 1924D

括号序列左边全是右括号，右边全是左括号；右括号数 = k - m，左括号数 = k - n；前缀和的最小值为右括号数。折线从(0,0)走到纵坐标$m-k$，再走到$(n+m, n-m)$。将(0,0)关于直线$y=k-m$和$y=k-m-1$对称，求这两点到终点的方案数相减。新起点为$2k-2m$，走$n+m$步到$n-m$，需要$x$个+1，解出$x=k$，方案数为$C(n+m, k) - C(n+m, k-1)$。需判断合法性。

Day14 图论1

CodeForces - 1255C

简单模拟。

P9650

Dijkstra的应用条件。从终点反推回起点，每个点阻拦到出口前$d_i$小的边。在反图上，删掉到i点的前$d_i$短路。实现时，将所有点入队，出队时判断是否前$d_i$短路，否则标记为已访问。

P5839

使用Floyd处理每个字符修改成另一个字符的操作数。然后动态规划，设$f_i$表示i之前的数合法的最小操作数，$f_i = min(f_j + cost(j+1, i))$，$cost$表示将$[j+1, i$]变为相同的最小操作数。预处理前缀和、前缀最小值，复杂度$O(nm)$。

Gym - 104857J

枚举满足要求的边。边作为最大边产生贡献时，要求$1→u$和$v→n$路径上的边权最大值小于等于该边权。因此求1→u路径上的最大值的最小值，使用Dijkstra从1和n各跑一遍。

P2934

最短路树与并查集缩点。最短路树是1到i的最短路径构成的树，断开最后一条边为$(fa_i, i)$。用树外边更新答案，对于边$(u,v)$，能更新$u$和$v$到根路径上的边，即对$[u, lca(u,v))$和$[v, lca(u,v))$的边做贡献。贡献为$dis_u + dis_v + w - dis_i$。前三项确定，最后一项与节点有关。将边按值排序，枚举时用并查集缩点，更新一次后合并区间到lca(u,v)，跳父亲时跳到find(fa)，暴力更新复杂度$O(m log n)$。

P6651

拓扑排序时求每个点对出度为0的点的链贡献数。从$k=1$开始，减去点u对答案的贡献，但u会下放到子节点，导致重复贡献。重复次数为出度为0的点到u的方案数，建反图可得。需要容斥，如果u能到v，则$f_u$会贡献到$f_v$，重复$f_u × d_{u,v}$（u→v的方案数）。因此令$f_v -= f_u × d_{u,v}$，总答案减去$f_u × cnt_u$。

CodeForces - 875C

确定序列顺序需保证相邻两个递增。使用2-SAT。如果存在一位j使$a_{i,j} < a_{i+1,j}$，则大小写相同，连边$u→v \And v'→u'$；如果$a_{i,j} > a_{i+1,j}$，则u大写v小写，连边$u→u' \And v'→v$；如果a_{i+1}是a_i的前缀，则不可能。连边后跑2-SAT，判断拓扑序决定大小写。

P6062

类似最大权闭合子图。树上的点放在源点侧，连点权；限制条件放在汇点侧，连容量$c_i$。每个点与对应的限制条件连无穷容量。最大流为$∑a_i - max_{flow}$，50分。放在树上，源点连节点，有限制条件的点连汇点。源点流向$x_i$子树下距离$≤k_i$的点再流向汇点。用map统计每个深度的总容量，启发式合并。处理限制条件时，二分深度$≤dep_u + k_u$且有剩余容量的深度，暴力更新减去$c_i$。复杂度$O(n log n)$。

Day15 图论2

CodeForces - 1679D

二分答案，重新建图后跑拓扑排序。如果有环则无限走，合法；否则为DAG，求最长路径。

CodeForces - 1213F

强连通分量缩点。同一连通分量内字母相同。缩点后的DAG，拓扑序$≤k$的填对应字母，否则填'z'。

CodeForces - 2000G

反着做，求从$u$出发到$n$的最晚出发时间。使用Dijkstra求最大值。到达点时需要打电话，可能走路或等待后坐车。用最晚到达时间更新，Dijkstra板子。

P2416

边双连通分量。边双内任意两点有两条不重合路径，因此边双内有贡献的边都能取到。缩点后构成树，u→v路径唯一。路径和为$s_u + s_v - 2 × s_{lca(u,v)} + a_{lca(u,v)}$，a为点权。

P11907

三维转序列操作。点连边到上下左右前后六个方向，处理每个点到餐厅的距离。点权转边权，边权为连接两点的dis最小值。最大生成树上u→v的边权最大值，即Kruskal重构树的$val_{lca(u,v)}$。

vector使用技巧：vector<vector<vector>> a; 每维resize()。

Day17 树上问题1

CodeForces-1336A

贪心选叶子节点，再选子节点数小的点。点$u$建工业城市的贡献为$dep_u - 1 - cnt_u$，$cnt_u$为子树u的工业城市数，即$sz_u - 1$。排序选前$k$大。

P5536

贪心，要求点到叶子节点距离最小值最大，即树的重心（直径中点）。确定点后BFS取前k个点，计算距离。或从叶子节点BFS直到剩k个节点，计算距离。

CodeForces-771C

树形DP。设$f_{u,i}$表示到$u$节点还剩$i$步的总步数。合并$u$和$v$时分类讨论：如果$k-i≤j$或$k-j≤i$，则方案数为$f_{u,i}×cnt_{v,j} + f_{v,j}×cnt_{u,i} - cnt_{u,i}×cnt_{v,j}$；否则为$f_{u,i}×cnt_{v,j} + f_{v,j}×cnt_{u,i}$。转移$f_{u,i} += f_{v,i+1}，cnt_{u,i} += cnt_{v,i+1}$。注意$i=k-1$时，$i+1=k$，需加$cnt_{v,i+1}$，$cnt$不变。最后加上从$u出发的点对。

CodeForces - 2033G

答案為u向上走$≤k$步後向下走的最大距离。倍增维护，$f_{u,i}$表示從$u$向上$2^i$步的最大距离。$f_{u,i} = max(f_{fa_{u,i-1}, i-1} + 2^{i-1}, f_{u,i-1})$。查詢時向上跳，于$min(dep_u-1, k)$取$max$。

CodeForces - 1709E

我们可以将每个顶点视为 LCA 进行处理。若发现两个顶点不合法，则需替换其中一个节点。最优策略是将 LCA 替换为一个极大的数值，从而避免其子节点向上贡献。随后，对于每个节点维护一个 set，存储所有到 LCA 的路径异或和。若发现两棵不同子树中存在异或和等于当前 LCA 值的情况，则需要进行修改；否则，合并这些 set。采用启发式合并，时间复杂度为 $O(n \log^2 n)$。

CodeForces - 1794E

哈希 + 换根 DP

若要匹配序列，可采用哈希方法将整个序列压缩为一个哈希值，并通过比较哈希值判断是否匹配。建议使用双模数哈希以增强鲁棒性。哈希值可定义为 $\text{Base}^{\text{dep}_u}$，直接比较即可。状态转移也较为直观。若序列中缺失某个数值，则考虑随机填充该位置的影响，其贡献为 $\text{Base}^x$。只需检查目标值与当前哈希值的差是否为 $\text{Base}$ 的幂次。

DAY18 树上问题 2

洛谷 - P8578

直接填充 DFS 序即可。

CodeForces - 1244D

由于每个节点度数最多为 2，可暴力枚举链末端两个节点的颜色，并验证整个路径的代价。

CodeForces - 1790F

每次添加新节点时，其与最近黑点的距离不会太大。直接 BFS 可能超时，因此转为维护每个点到最近黑点的距离。当染色到 $u$ 时，设其距离为 $\text{dis}_u$，然后 BFS 更新邻近节点，但需剪枝：若当前距离超过已知答案则停止。证明复杂度：初始时 BFS 最多运行 $n$ 步，添加 $x$ 个点后总步数为 $O(nx)$，但实际运行中每点平均更新次数为常数，因此可通过。

Gym - 102012G

点-边容斥

直接对点计算组合数 $C(\text{cnt}, k)$ 会重复计数，因为路径可能共享边。利用子树中点数减边数恒为 1 的性质，采用点减边方法：点的贡献减去边的贡献。对每条路径进行树上差分，分别处理点和边，最后自底向上前缀和统计答案。

DAY 19 数论

CodeForces-947A

线性筛

由关系式 $\lceil \frac{X_1}{b} \rceil \times b = X_2$（其中 $b \mid X_2$）可得，对于每个质因数 $b$，$X_1$ 的取值范围为 $[X_2 - b + 1, X_2]$。同理，$X_0$ 的取值范围为 $[X_1 - a + 1, X_1]$（$a \mid X_1$）。贪心策略是使 $X_1$ 尽可能小且 $a$ 尽可能大。预处理每个数的最大质因数，枚举 $X_1$ 并记录 $X_0$ 的最小值。

CodeForces-1499D

令 $a = k_1 \cdot \gcd(a,b)$, $b = k_2 \cdot \gcd(a,b)$，则 $\text{lcm}(a,b) = \frac{a b}{\gcd(a,b)}$。原式化为 $k_1 k_2 c \cdot \gcd(a,b) - d \cdot \gcd(a,b) = x$，解得 $\gcd(a,b) = \frac{x}{k_1 k_2 c - d}$。枚举 $\gcd(a,b)$（为 $x$ 的因数），计算对应的 $(k_1, k_2)$ 数量。由于 $\gcd(k_1, k_2) = 1$，每种质因数只能出现在 $k_1$ 或 $k_2$ 中，故方案数为 $2^p$（$p$ 为质因数种数）。预处理每个数的质因数个数，复杂度为 $O(T \cdot \sqrt{x})$。

洛谷-P12021

限制条件形成若干不交链。链的贡献用动态规划计算：$f_i$ 表示长度为 $i$ 的链的方案数，转移为 $f_i = f_{i-1} + f_{i-2}$（取或不取当前点）。链的条数通过容斥计算：先求长度至少为 $l$ 的链的数量，再减去长度至少为 $l+1$ 的数量。通过数轴分析，从 $n/k$ 到 $n$ 的点无需跳跃，而从 $1$ 到 $n/k$ 的点需跳跃一次。分段计算方案数，总方案数减去前缀方案数即为当前段方案数。

代码实现见原题解。

洛谷-P12952

转化为线性同余方程 $ax \equiv b \pmod{n}$。

线性同余方程

结论：方程 $ax \equiv b \pmod{n}$ 等价于 $ax + kn = b$。通过扩展欧几里得算法求解 $x_0, k_0$ 满足 $x_0 a + k_0 n = \gcd(a,n)$，则原方程的特解为 $x = x_0 \cdot \frac{b}{\gcd(a,n)}$。若 $\gcd(a,n)=1$，则通解为 $x = x_0 + n t$, $k = k_0 - a t$（$t$ 为任意整数）。最小非负整数解为 $x = (x \bmod t + t) \bmod t$，其中 $t = \frac{n}{\gcd(a,n)}$。欲最小化 $|x|$，可先求最小非负解 $x_1$，再取 $-(x_1 - t)$。

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整除分块

分数可化为有限小数的条件是分母仅含质因子 2 或 5。将分数写为 $\frac{b c}{a c}$，其中 $\frac{b}{a}$ 已约分，且 $c$ 不含 2 或 5 的因子。枚举 $a$，则 $c$ 的取值范围为 $1$ 到 $\lfloor \frac{n}{a} \rfloor$，$b$ 的取值范围为 $1$ 到 $\lfloor \frac{n}{c} \rfloor$。直接枚举复杂度为 $O(n^2)$，改为枚举 $c$，则 $a$ 的取值范围单调，答案可写为 $\sum_c \lfloor \frac{n}{c} \rfloor \cdot f(\lfloor \frac{n}{c} \rfloor)$，其中 $f(x)$ 表示不超过 $x$ 且不含 2 或 5 因子的数的个数。整除分块后容斥计算 $f(x)$，总复杂度为 $O(\sqrt{n} \log n)$。

posted @ 2025-09-05 22:35 2020luke 阅读(32) 评论(0) 收藏举报

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