洛谷 P2158 [SDOI2008] 仪仗队 题解

来一发莫比乌斯反演的题解。

\[\begin{split} ans & =\sum^{n-1}_{i=1} \sum^{n-1}_{j=1} [\gcd(i,j)=1]\\ & = \sum^{n-1}_{i=1} \sum^{n-1}_{j=1} \sum_{d|\gcd(i,j)} \mu(d)\\ & = \sum^n_{d=1}\mu(d)\sum^{\left\lfloor\frac{n-1}{d}\right\rfloor}_{i=1}\sum^{\left\lfloor\frac{n-1}{d}\right\rfloor}_{j=1}\\ & =\sum^n_{d=1}\mu(d)\times\left(\left\lfloor\dfrac{n-1}{d}\right\rfloor\right)^2 \end{split} \]

\(\dfrac{n-1}{g}\) 可以用数论分块求出。

//P2158 [SDOI2008] 仪仗队
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;
const int MAXN=40005;
int prime[MAXN],cnt,mu[MAXN],s[MAXN],n,ans;
bool flag[MAXN];
void sieve()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=4e4;i++)
    {
        if(!flag[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=4e4;j++)
        {
            flag[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    return;
}
int main()
{
    sieve();
    scanf("%d",&n);
    if(!--n)
    {
        printf("0\n");
        exit(0);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        s[i]=s[i-1]+mu[i];
    }
    for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
    {
        r=n/(n/l);
        ans+=(s[r]-s[l-1])*(n/l)*(n/r);
    }
    printf("%d\n",ans+2);
    return 0;
}
/*
 * 洛谷
 * https://www.luogu.com.cn/problem/P2158
 * C++17 -O0
 * 2022.10.12
 */