洛谷 P3488 [POI2009]LYZ-Ice Skates 题解

错解

每次跑二分图匹配，时间复杂度显然爆炸。

时间复杂度：我被杀手皇后摸过了

正解

Hall 定理

Hall 定理：设二分图中 \(G=<V_1,V_2,E>,|V_1| \le |V_2|\)，则 G 中 存在 \(V_1\) 到 \(V_2\) 的完美匹配当且仅当 \(\forall S \sub V_1\)，均有 \(|S| \le |N(S)|\)，其中 \(N(S)=\Cup_{V_i \in S}{N(V_i)}\)，是 \(S\) 的邻域。

通俗来说，对于一个二分图，它的左面有 \(n\) 个点，右面有 \(m\) 个点，则左边 \(n\) 个点能完全匹配的充要条件是对于任意在 \([1,n]\) 之间的 \(i\)，左面任意 \(i\) 个点，都至少有 \(i\) 个右面的点与它相连。

证明

充分性：假设一个二分图 \(G\) 不存在完美匹配，且满足 Hall 定理，那么如果有一种最大匹配的方案，既然不存在完美匹配，可以找到至少一个未被匹配的点 \(A\)。

因为这个二分图满足 Hall 定理，所以这个点一定连向了至少一个点 \(B\)（有可能存在多个点）。那么这个点 \(B\) 一定在最大匹配中，左边一定有一个点 \(C\) 和它匹配。

\(C\) 做为一个匹配点可能在右边找到 \(D\)，就这样一直找下去，由于左部点数是小于等于右部点数，于是最终点落在右部点结束，找到一个增广路，矛盾，假设不成立。

必要性：假设一个二分图 \(G\) 存在完美匹配，且不满足 Hall 定理。
那么对于某 \(k\) 个点，它们连向的都不足 \(k\) 个点，这些点无法匹配，矛盾，假设不成立。

转化

我们显然不能枚举所有情况，这样的时间复杂度是 \(O(2^p)\) 的，其中 \(p\) 为人数，所以我们只能考虑最劣的情况。

显然，选择连续号码的人会使右边与他相邻的人最少。

设 \([l,r]\) 为脚号码的范围，\(a_i\) 表示型号为 \(i\) 的人数，由 Hall 定理得：

\[\sum^r_{i=l}a_i \le k(r-l+1+d) \qquad (1) \]

如果单纯这样做的话，修改是 \(O(n^2 \log n)\) 的，询问是 \(O(m^2)\) 的，时间复杂度依然接受不了。

考虑将 \((1)\) 式变形，得：

\[\sum^r_{i=l}(a_i-k)\le d \cdot k \qquad (2) \]

\((2)\) 式中由于 \(d \cdot k\) 是个定值，那么问题变为单点修改+求最大连续子序列和，可以用线段树维护（最开始时令 \(a_i=-k\)）。

代码

//P3488 [POI2009]LYZ-Ice Skates
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN=2e5+5;
struct SegmentTree
{
    int lmx,rmx,sum,res;
}tr[MAXN<<2];
int n,m,k,d;
void pushup(int p)
{
    tr[p].lmx=max(tr[p<<1].lmx,tr[p<<1].sum+tr[p<<1|1].lmx);
    tr[p].rmx=max(tr[p<<1|1].rmx,tr[p<<1|1].sum+tr[p<<1].rmx);
    tr[p].sum=tr[p<<1].sum+tr[p<<1|1].sum;
    tr[p].res=max(tr[p<<1].res,max(tr[p<<1|1].res,tr[p<<1].rmx+tr[p<<1|1].lmx));
    return;
}
void build(int p,int l,int r)
{
    int mid;
    if(l==r)
    {
        tr[p]={0,0,-k,-k};
        return;
    }
    mid=(l+r)>>1;
    build(p<<1,l,mid);
    build(p<<1|1,mid+1,r);
    pushup(p);
    return;
}
void update(int p,int l,int r,int k,int c)
{
    int mid;
    if(l==r)
    {
        tr[p].sum+=c;
        tr[p].res+=c;
        tr[p].lmx=tr[p].rmx=max(0ll,tr[p].sum);
        return;
    }
    mid=(l+r)>>1;
    if(k<=mid)
    {
        update(p<<1,l,mid,k,c);
    }
    else 
    {
        update(p<<1|1,mid+1,r,k,c);
    }
    pushup(p);
    return;
}
signed main()
{
    int x,y;
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&k,&d);
    build(1,1,n);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%lld%lld",&x,&y);
        update(1,1,n,x,y);
        if(tr[1].res<=k*d)
        {
            printf("TAK\n");
        }
        else 
        {
            printf("NIE\n");
        }
    }
    return 0;
}
/*
 * 洛谷
 * https://www.luogu.com.cn/problem/P3488
 * C++17 -O0
 * 2022.10.10
 */