常用算法总结

1.莫队

1.1莫队算法

对于可以离线的$n$组区间询问，先将序列分为$O(\sqrt{n})$块，再按照左端点属于的块$id$为第一关键字，右端点为第二关键字排序

若能由$[l,r]$的答案$O(k)$得到$[l-1,r]$和$[l,r+1]$的答案，那么就可以在$O(k*n*\sqrt{n})$内得到所有$n$组询问的结果

复杂度证明：左端点每次移动不超过块大小$\sqrt{n}$，右端点每块移动不超过$n$

 

1.2带修改的莫队算法

分块大小经计算改为$n^{\frac{2}{3}}$

按照左端点所属块为第一关键字排序，右端点所属块为第二关键字排序，时间为第三关键字排序

时间指针移动了$n^{\frac{1}{3}}*n^{\frac{1}{3}}*n$次

右端点指针移动了$n^{\frac{2}{3}}*n$次

左端点指针移动了$n^{\frac{2}{3}}*n$次

总时间复杂度为$O(n^{\frac{5}{3}})$

 

1.3树上莫队

定义点$u$和点$v$间的路径为$S(u,v)$，根节点为$root$

定义路径的$xor$操作相同的点去掉，不同的点添加（每个点有独立的贡献）

$S(u,v)=S(root,u) xor S(root,v) xor lca(u,v)$

定义$T(u,v)=S(root,u) xor S(root,v)$

那么若上一次询问的是$(u,v)$，这一次询问的是$(curu,v)$，那么

$T(u,v) xor T(curu,v) = S(root,u) xor S(root,v) xor S(root,curu) xor S(root,v)$

$T(curu,v) = T(u,v) xor T(u,curu)$

所以若是询问$(curu,curv)$

$T(curu,curv) = T(u,v) xor T(u,curu) xor T(v,curv)$

对树的$dfs$序分块，可知任何块内俩点距离不超过$size$

 

2.点分治

考虑求解满足条件的合法点对，那么每次寻找树的重心，那么合法点对只能是

1.$root$与某节点$u$

2.同一棵子树内的节点$u$和$v$

3.俩棵子树内的节点$u$和$v$

对于2我们可以递归考虑，对于1,3对每棵子树取处理，由于重心的性质

去掉重心后剩下的子树中$size$最大值最小

那么分治次数不会超过$log_{2}{n}$

 

3.cdq分治

考虑离线的修改$&$询问，每次递归将操作分为俩半，再考虑前一半的修改会对后一半产生的贡献，有点类似于归并排序的操作

这样就可以实现降维，将原本的二维偏序变成一维

 

4.平面点对生成树问题

4.1曼哈顿最小生成树

4.2切比雪夫最小生成树

4.3欧几里得最小生成树