HC1147 时空阵

问1号点到n号点距离恰好为m的图的个数。图的边权为1。\(n,m ≤ 100\)

DP+图论。怎么说呢，还是图论的思想多一点，因为涉及到分层的思想。
我们可以将到1距离不同的点分层，例如1在第零层，那么与1距离为1的点就在第1层，以此类推，到1距离为\(k\)的点在第\(k\)层。
这就是BFS树，也就是说，从1号点开始bfs，对于一个点i，他在BFS中的父亲就是他在BFS树中的父亲。BFS树有一些性质，比如这棵树中非树边只存在与同一层中或者上一层与这一层之间，读者自证，反证即可。
我们发现，对于已经确定第i层的BFS树，第i+1层对第i层的构造无影响，也就是说，枚举构造时无后效性，再看看数据范围，不是明显的排列组合递推dp么？

不妨设\(f[i][j][k]\)，表示这是第\(i\)层，总共已经用了\(j\)个点，其中这一层有\(k\)个点的方案数。对于一个\(f[i][j][k]\)，显然要从\(f[i-1][j-k][s]\)中转移出来。
首先分层图内部可以随便连边，也就是说已经有了\(2^{C^2_k}\)种可能性。
其次，对于分层图上除了根节点之外的每个点，必须要与上一层连接至少一条边（不然怎么会在这一层），当然和上一层多连几条也没问题，也就是说还有\({(\sum^{s}_{p=1}C_{s}^{p})}^k={(2^s-1)}^k\)种情况
最后，大家都知道但非常容易忽略的是，点序不是BFS序，也就是说，没有人规定下一层的点的序号必须要比上一层小，也没有人规定第n号点必须在最后一层。于是，我们还需要去枚举什么点放在这一层，这一层结束之后我们还有\(n-j\)个点，所以这次结束之前我们有\(n-j+k\)个点，所以我们在这一层中有\(n-j+k-1\)个点供我们选出k个点，注意下这里的"-1"是怎么来的，我们还要保证第n号点不能放进这一层。
处在第m层的话情况比较特殊，同样还是在\(n-j+k-1\)个点中去选，我们不能再选\(k\)个点，而是要去选\(k-1\)个，因为要留一个位置给\(n\)号点。
转移式推出。

\[f[i][j][k]=\sum f[i-1][j-k][s]*{2^{C^2_k}}*{(2^s-1)}^k*{C_{n-j+k-1}^{k}}, （i!=m） \]

\[f[i][j][k]=\sum f[i-1][j-k][s]*{2^{C^2_k}}*{(2^s-1)}^k*{C_{n-j+k-1}^{k-1}}, （i==m） \]

还有一件事情需要处理，就是当第\(n\)层处理完了之后剩下的点怎么办。直接把全部形态都乘上就好。
首先就是剩下的点之间随便连，就是\(2^{C_{n-i}^{2}}\)种，他们也可以选择要不要和这一层连，就是\(2^{j(n-i)}\)种。
答案处理式出来了。

\[ans=\sum_{i∈(m+1,n),j∈(1,n)}{f[m][i][j]*2^{C_{n-i}^{2}}*2^{j(n-i)}} \]

注意一个不错的性质就是\(C^2_k=\frac{k(k-1)}{2}\)，同时2的多个幂也可以合并加快速度，还要注意取\(mod\)防止溢出。
就说到这里吧，祝自己生日快乐哈哈哈。