特殊网络流与部分网络流好题

在博客园的第一篇文章啊，这里主要存放一些对于本蒟蒻来说有深度的算法解释和题解。

Part 1 特殊的网络流

无源汇上下界可行流

首先，网络流一定要流量守恒，无源汇的网络流没有源点和汇点，不可能随便变出来流量给你流，所以无源汇网络流一定是个环，这是从定义上可以理解的。
然后，对于每一条边edgei，我们有一个上界\(u_i\)和一个下界\(d_i\)，那么\(u_i-d_i\)这部分就是自由流了。我们在网络中建立这条边，流量设定为自由流量ui-di。对于一个顶点u，我们定义\(c_u=\sum_{edge_i∈in_u}{d_i}-\sum_{edge_j∈out_u}{d_j}\)。接下来我们只看下界。于是，如果\(c_u<0\)，流出大于流入，因为流量守恒我们需要从超级源点连一条边到u，流量为\(|c_u|\)，否则我们从这个点向超级汇点连\(c[u]\)的边。
最后，我们从超级源点到超级汇点跑一边网络最大流，如果每条超级源点或者超级汇点的边都流满了，那么说明这个图的网络流量是守恒的，存在可行流，反之不可行。

有源汇上下界最大流

碰到上下界咱就不好解决了，尝试先变成无源汇上下界可行流，把下界都满足了之后去残量网络上去跑自由流量。
首先要变成无源汇的，非常粗暴，我们直接从汇点到源点连一条无穷边，就把整个图放进了环中。需要注意的是，统计c数组的时候是不用统计这条无穷边的（不然怎么算啊）。
然后按照无源汇上下界可行流那样建图，从超级源到超级汇跑一次网络最大流，判断是否可行，如果不可行的话那上下界都满足不了显然就不可能有最大流。
最后去掉与超级源超级汇连接的所有边，在残量网络用原来的源点和汇点跑一边网络最大流，在已经满足上下界的前提下去满足流量尽量地大，这次网络最大流的答案就是整个图的网络最大流。
其实还有一种解法，就是判断完可行流之后不仅删除上述的边还删除那条无穷边，这样答案是本次最大流+原来可行流。
请读者想一想为什么，实际上以我个人理解那条无穷边中流过的流量，就是可行流的大小。

有源汇上下界最小流

部分读者认为可行流其实就是最小流，其实不是。
首先按照有源汇上下界最大流那样跑可行流，然后删除那条无穷边，从T到S跑网络最大流，把多流的边压回去。
答案就是可行流-本次最大流。
如果读者理解有源汇上下界网络流的话那这个也很容易理解了。
上下界费用流什么的与这个本质相同，不再赘述。

Part 2 推荐一些网络流好题

AGC31E Snuke the Phantom Thief

AGC31E Snuke the Phantom Thief
这道题建图是真的妙啊。
我们先放在一维世界看一看。不如把所有点排一下序。于是乎，如果要求小于w的小于等于i个，不如说保证a[i+1]>=w。但是，如果要求大于w的小于等于i个，我们就需要一个选取的点总数了。怎么办？枚举！我们从1到n依次枚举s为选取的点的总数。然后就变成了a[n-s-1]<=w。显然对于每个点所在的区间[l,r]，是单调不降的，可以继承下来。对于每个点就有了自己必须要放的区间，匹配即可。
放到二位世界了呢？不如把点分为三层，第一层横坐标，第二层是点，第三层纵坐标，跑最大费用最大流即可。