【BZOJ1355】【Baltic2009】Radio Transmission 详细证明【KMP】

Description

【题目描述】

　　给你一个字符串，它是由某个字符串不断自我连接形成的。 但是这个字符串是不确定的，现在只想知道它的最短长度是多少.

【输入】

　　第一行给出字符串的长度,1 < L ≤ 1,000,000. 第二行给出一个字符串，全由小写字母组成.

【输出】

　　输出最短的长度
　　
题解：
首先，我们对这个字符串求一遍next$next$数组，next[i]$next[i]$表示i的前缀和后缀的最长的相同的长度，即最长前缀后缀。答案就是n−next[n]$n-next[n]$。但是为什么呢？
证明：
不妨设文本串为T，n=|T|$n=|T|$

下面我要证明T−next[n]$T-next[n]$一定是字符串的循环节。
我们把next[n]$next[n]$和T$T$这两个字符串对齐。

此时相同位置的字符是相同的。

显然，标红位置，即T−next[n]$T-next[n]$和next[n]$next[n]$的开头是相同的。

再可以把next[n]$next[n]$的标红部分对应回T$T$上面，又对应到next[n]$next[n]$上面。

我们可以像这样把T$T$和next[n]$next[n]$用T−next[n]$T-next[n]$填充满，所以T−next[n]$T-next[n]$一定是字符串的循环节。
那为什么T−next[n]$T-next[n]$一定是最短的呢？
因为如果存在比T−next[n]$T-next[n]$更短的循环节，根据next$next$数组的定义，next[n]$next[n]$一定会加长。所以不存在比T−next[n]$T-next[n]$更短的循环节。
因此T−next[n]$T-next[n]$一定是T的最短循环节，n−next[n]$n-next[n]$就是这个循环节的长度。
代码：

#include<cstdio>
int n,next[1000005];
char s[1000005];
int main(){
    scanf("%d%s",&n,s);
    next[0]=next[1]=0;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int j=next[i];
        while(j&&s[i]!=s[j]){
            j=next[j];
        }
        next[i+1]=s[i]==s[j]?j+1:0;
    }
    printf("%d\n",n-next[n]);
    return 0;
}