线性基学习笔记

基础定义：

张成

设 $T\subseteq S$ ，所有这样子集 $T$ 的异或和组成的集合称为集合 $S$ 的张成，记作 $span(S)$ ,即从 $S$ 中选出任意多个数，其异或和的所有可能的结果组成的集合。

线性相关

对于一个集合 $S$ ，如果存在一个元素 $S_i$ ，使得，$S$ 在去除这个元素后得到的集合 $S^{'}$ 的张成 $span(S^{'})$ 中包含 $S_i$ ，即 $S_i\in{span(S^{'})}$ ，则称集合 $S$ 线性相关。

更形象地，可以表示为，存在一个元素 $S_i$ ，可以用其它若干个元素异或起来得到。

相对的，如果不存在这样的元素 $S_i$，则称集合 $S$ 线性无关。

一个显然的结论是，对于这个线性相关的集合 $S$ ，去除这个元素后，集合的张成不变。

线性基

我们称集合 $B$ 是集合 $S$ 的线性基，当且仅当：

1.$ S\in{span(B)} $。

2.B是线性无关的。

学习博客

线性基用处：用来解决异或和问题。

struct LinearBasis
{
	# define N 64
	# define reg register
	# define TT template<class T>
	# define LL long long
	
	LL base[N];
	
	TT
	inline void Insert(T x)
	{
		for(reg LL i = N-1; ~i ; --i)
			if(x & (1LL << i))//可简化成 （x >> i） 
			{
				x ^= base[i];
				if(base[i] == 0){base[i] ^= x;return;}
			}
	}
	
	TT
	inline bool Check(T x)
	{
		for(reg int i = N-1; ~i ; --i)
			if(base[i]) x ^= base[i];
			
		return x == 0;
	}
	
	inline void Merge(LinearBasis x)
	{
		for(reg int i = N-1; ~i ; --i) if(x.base[i]) Insert(x.base[i]);
	}
	
	inline LL Xor_Sum_Max()
	{
		LL res = 0;
		
		for(reg int i = N-1; ~i ; --i) if((res ^ base[i]) > res)   res ^= base[i];
		
		return res; 
	}
	
	inline LL Xor_Sum_Min()
	{
		LL res = 0;
		
		for(reg int i = N-1; ~i ; --i) if((res ^ base[i]) < res)   res ^= base[i];
		
		return res; 
	}
	
	# undef N
	# undef reg
	# undef TT
	# undef LL 
} T;