雅可比行列式
雅可比行列式
雅可比行列式在多元积分的变量替换中扮演着关键角色，它能帮助我们准确地转换积分区域和被积函数，从而简化积分计算。
核心原理:
多元积分的变量替换类似于一元积分的换元积分法，但需要考虑多个变量的相互关系。雅可比行列式反映了新旧坐标系之间的比例关系，它能够保证积分结果的正确性。
步骤:
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定义变换: 设原坐标系为 \((x, y, ...)\)，新坐标系为$ (u, v, ...)$，并定义变换关系：
x = x(u, v, ...) y = y(u, v, ...) ... -
计算雅可比行列式: 计算新旧坐标系之间的偏导数矩阵，并求其行列式：
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转换积分区域: 将原积分区域在旧坐标系中的定义转换为新坐标系中的定义。
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转换被积函数: 将原被积函数用新坐标系表示。
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应用雅可比行列式: 在转换后的积分表达式中，乘以雅可比行列式的绝对值，以修正积分区域的变化：
\[∫∫...∫ f(x, y, z, ...) dx dy ... = ∫∫...∫ f(x(u, v, ...), y(u, v, ...),z(u, v, ...), ...) |J(u, v, ...)| du dv ... \]
举例说明:
例如，将二重积分 \(∫∫_R x^2 y dx dy\) 从直角坐标系转换为极坐标系，其中 R 是单位圆。
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变换关系: \(x = r cosθ， y = r sinθ\)
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雅可比行列式: \(J(r, θ) = | ∂x/∂r\quad ∂x/∂θ | = | cosθ -r sinθ | = r\)
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积分区域: 原积分区域 R 在极坐标系中对应 r 从 0 到 1， θ 从 0 到 2π。
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被积函数: \(x^2 y = (r cosθ)^2 * (r sinθ) = r^3 cos^2θ sinθ\)
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应用雅可比行列式:
\[∫∫_R x^2 y dx dy = ∫_{θ=0}^{2π} ∫_{r=0}^1 r^3 cos^2θ sinθ * r dr dθ \]该积分现在可以使用极坐标系进行计算，由于变换后积分区域和被积函数都变得更加简单，积分过程会变得更容易。
总结:
雅可比行列式是进行多元积分变量替换的关键，它反映了新旧坐标系之间的比例关系，保证了积分结果的正确性。通过使用雅可比行列式，我们可以将复杂的多元积分转化为更简单的积分形式，从而简化计算。
其中，详细的步骤如下：
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原积分：
\[\iint_R x^2 y \, dx \, dy \] -
变量替换后的积分：
\[\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r^3 \cos^2 \theta \sin \theta \, r \, dr \, d\theta \]
解析步骤：
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变换关系： \(x = r \cos \theta\)，\(y = r \sin \theta\)
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雅可比行列式：
\[J(r, \theta) = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos \theta & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{vmatrix} = r \] -
积分区域： 原积分区域 \(R\) 在极坐标系中对应 \(r\) 从 \(0\) 到 \(1\)，\(\theta\) 从 \(0\) 到 \(2\pi\)。
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被积函数：
\[x^2 y = (r \cos \theta)^2 (r \sin \theta) = r^3 \cos^2 \theta \sin \theta \] -
应用雅可比行列式：
\[\iint_R x^2 y \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r^3 \cos^2 \theta \sin \theta \, r \, dr \, d\theta \]
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