拉普拉斯变换

背景

傅里叶变换
\(F(w)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(t)e^{-iwt}dt\)

傅里叶变换的条件：

1. 在\((-\infty,+\infty)\)上，连续或只有有限个第一类间断点。
2. 在\((-\infty,+\infty)\)上，极大值和极小值的数目应是有限个。
3. 在\((-\infty,+\infty)\)上，信号是绝对可积的。

使用傅里叶的条件相当严苛。

拉普拉斯变换

设函数\(f(t)\)是定义在\([0,+\infty)\)上的实值函数，如果对于复参数\(s=\beta+\text{j}w\)，积分

\(F(s)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{−st}dt\)
当\(\beta=0\)时，我们就能得到傅里叶变换，所以说拉普拉斯变换是傅里叶变换更泛化的一种形式。

拉普拉斯逆变换

已知函数\(f(t)\)经过拉普拉斯变换后得到\(F(s)\)，则原函数\(f ( x )\)可由\(F(s)\)经过拉普拉斯逆变换得到:

\(f(t)=\frac{1}{2πj}\int^{β+j∞}_{β-j∞} F(s)e^{st}ds\)

函数一阶导数的拉普拉斯变换

\(sF(s)-f(0)=\int^{+\infty}_0f^{'}(t)e^{-st}dt\)

函数二阶导数的拉普拉斯变换

\(s^2F(s)-sf(0)-f^{'}(0)=\int^{+\infty}_0f^{''}(t)e^{-st}dt\)

使用于大部分函数，广泛应用于求解线性常微分方程、偏微分方程、积分方程等问题。

\(f(t)=t\,\,\,F(s)=\frac{1}{s^2}\)

\(f(t)=\frac{1}{2}t^2\,\,\,F(s)=\frac{1}{s^3}\)

\(f(t)=t^n\,\,\,F(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}\)

\(f(t)=e^{at}(t>=0)\,\,\,F(s)=\frac{s}{s-a}\)

\(f(t)=cos(wt)\,\,\,F(s)=\frac{s}{s^2+w^2}\)

\(f(t)=sin(wt)\,\,\,F(s)=\frac{w}{s^2+w^2}\)