矩阵分析-线性系统-4 病态系统（ill-conditioned Systems）与条件数（condtion number)

1. 病态系统

系统的精确解为x=1，y=-1。若对b2=0.067进行轻微的扰动变为0.066，那么精确解变为x=-666，y=834。这个例子深刻说明了病态系统（ill-conditioned systems)的解对于小扰动非常敏感。而这种敏感是由于系统的内在特征，而不是数值求解的结果。这是没有任何数值求解的技巧可有消除这种敏感性。

 

对于2*2的系统，这种情况可以用图形来清晰说明。两个公式对应两条直线，其交点为解。一个病态系统对应的两条直线是几乎平行的，因此任何微小的变化都会使交点发生巨大变化。

                                        

 

2. 条件数

条件数（Condition Number）用于确定一个线性系统Ax=b在多大程度上能会发生变化（也就是它有多病态，注意不是变态）。其计算公式为

                                             ，可以是任何一种范数

若矩阵A的条件数很大，则其为病态系统。

条件数—衡量奇异程度的量

(1) 在用数值方法计算矩阵的逆时，由于计算中的误差，人们不大可能得到理想的零合理想的全零行，所以矩阵是否奇异，并不是那么绝对的。 (2) 为了评价矩阵接近‘奇异’的程度，采用了‘条件数’（Condition Number）作为常用的衡量指标。它永远大于1。其数值愈接近于1，计算误差愈小。 (3) MATLAB中，条件数用cond(A)计算，它达到10的4次方以上时，求逆的误差就可能相当可观。像现在，条件数达到10的16次方（注：条件数是逆条件数RCOND的倒数），结果是根本不能用的。