子集枚举 二进制

子集枚举之二进制法(好土的名字)

A中元素	1	2	3	4	5	二进制
在\(A_1\)中的出现情况	1	0	1	1	1	11101
在\(A_2\)中的出现情况	1	0	0	1	1	11001
在\(A_3\)中的出现情况	0	0	1	0	0	00100
在\(A_4\)中的出现情况	0	1	1	0	0	00110

仅包含第\(i(1\le i \le 5)\)个元素的集合的数字可以用位移运算构造，写成1<<(i-1)；包含所有元素的全集为u=(1<<n)-1，空集表示为0。

一些集合的常用关系有以下几种：

1. 并集。从元素的选择角度来讲，就是\(A_2\)与\(A_3\)包含的元素合并起来得到\(A_1\)。可以发现，这就是按位或的运算，可表示为a1 = a2 | a3。
2. 交集。2个集合中同时存在的元素组成的集合。当需要表示2个集合的交集时候，可以把表示2个集合的二进制数按位与运算，即a3 = a1 & a4。
3. 包含。集合\(A_2\)的所有元素都在\(A_1\)中出现，说明\(A_1\)包含\(A_2\)。判断\(A_1\)是否包含\(A_2\)可以写成(a1|a2 == a1) && (a1&a2 == a2)。
4. 属于。把某个元素看做为1个集合，取交集检查是否为1即可。如判断第3个元素是否属于集合\(A_1\)可以写成(1<<(3-1)) & a1。
5. 补集。\(A_2\)对于全集的补集就是\(A_4\)，可以写成a4 = a^a2，^为c/c++异或符号。

统计二进制中的1的个数可以使用内建函数 __builtin_popcount()，它能返回一个数二进制数下1的个数；当然也可以逐位确认。