背包细节补充

背包问题为什么要去枚举背包容量 j ?而且在状态转移中，为什么考虑选第 i 种物品时的转移方程是 dp[ j ] = max ( dp[ j ], dp[ j - v[ i ] ] + w[ i ]) ?

背包问题状态转移的思想就是 :

假设考虑前 i 个物品，此时枚举到背包容量 j 

如果第 i 个物品的体积大于背包容量 j ，那么肯定不会考虑选第 i 个物品，那么此时 dp[ i ][ j ] = dp[ i - 1][ j ];

即直接继承考虑前 i - 1 个物品，背包容量为 j 时的最优解

反之，则需要考虑选第 i 个物品，那么此时就是要比较一下选第 i 个物品划算还是不选第 i 个物品划算

不选的情况就等于 dp[ i - 1][ j ]，若是选第i个物品，则选入背包后，此时背包价值为w[ i ]，背包容量剩余 j - k ，我们还要最大化利用剩下的 j - k 个空间

即再加上dp[ i - 1][ j - k ] （我要重新强调一下dp数组的含义是考虑前i个物品，背包容量为 j 能获取到的最大价值）

我想我说明白了状态转移的过程，接下来我要解释不同的初始化方式对于dp数组含义的影响

（ 1 ）如果你将dp数组初始化为全0，则此时dp数组的含义是考虑前 i 个物品，背包容量为 j 时能获取的最大价值，此时dp[ N ][ M ]即为答案

（ 2 ）如果将dp数组初始化为负无穷，而只有dp[ 0 ][ 0 ]为0，此时dp数组的含义就变成了考虑前 i 个物品，背包容量恰好为 j （也即没有空间浪费）时能获取的最大价值

此时dp[ N ][ M ]不一定是答案，需要遍历数组来寻找最大价值 

证明过程 ： （使用滚动数组优化）

初始化情况为 （ 1 ），设背包容量恰好为 k 时（k < M）取到了最大值

那么可以证明，dp[ k ]一定是由dp[ 0 ]一步步转移过来，通俗的说，就是我恰好选了k体积的物品，使得原体积为 M 的背包取得了最大价值

那么dp[ M ]同样可以视为由dp[ M - k ]转移而来（这里可以证明，dp[ M - k ] 一定等于 0 ，因为若dp[ M - k ]不为0，则最大价值一定不是恰好选 k 体积物品得到的，因为还有剩下的 M - k 个空间可以利用）

具体一些，就是dp[ M - k ] 的状态再选择 k 体积物品得到了 dp[ M ] ，所以，dp[ M ]  = dp[ k ] 同理可以证明 k 到 m 之间的数 x 也满足上面的结论（dp[ x ]  = dp[ k ]）

此时dp数组的含义是考虑前 i 个物品，背包容量为 j 时能获取的最大价值

如果初始化情况为 （2）， 那么就和上面的情况有差别了，dp[ k ]可以由dp[ 0 ]转移过来，但是dp[ M ] 不再可能由 dp[ M - k ]转移过来，因为初始化的时候只是将dp[ 0 ]设置为0

此时dp数组的含义就是考虑前 i 个物品，背包容量恰好为 j 时能获取的最大价值

所以循环结束，dp数组会呈现一种有效答案和无效答案（负无穷）混合出现的情况，若不是恰好把M个空间都利用上了，dp[ M ] 就会是负无穷，所以dp[ M ]不再一定是答案

本质来说，其实不是初始化的方式直接导致了dp数组含义的不同，而是相同的状态转移过程是否可以发生在多个最初状态上，比如这个问题中，初始化为全0就使得k 到 m 之间的数 x 也可以由一些初始状态转移而来，而只将dp[ 0 ]初始化为0导致了只有dp[ k ] 可以由 dp[ 0 ] 一步步转移而来，dp数组含义就发生了变化