洛谷 P1020 [NOIP1999 提高组] 导弹拦截

原题链接 https://www.luogu.com.cn/problem/P1020

这个真的是一道好题，这道题不仅考察了dp，而且融合了二分还有一个很重要的$\text{Dilworth 定理}$

$\text{感觉做完这个题最大的收获不是dp，而是完善了二分的一些分支算法而且了解了上面说到的哪个定理}$

$\text{因为n ^ 2的dp谁都会，而优化就显得很重要了}$

$\text{在之前abc的比赛中我因为不会自己写二分而导致卡一道题卡了将近一个小时，那个题目考察到了求第一个大于（大于等于）aim的值和第一个小于（小于）aim的值，}$

$\text{在赛后我第一时间就完善了这两种算法，而在今天，我又遇到了求最后一个大于（大于等于）aim的值，和最后一个小于（小于等于）aim的值}$

$\text{其实想法都是差不多的，就是在二分时左右端点的转移条件不一样}$

$\text{在求第一个大于（大于等于）aim的值和第一个小于（小于）aim的值时，当A[mid]>aim时，我找到了一个大于aim的数字，因为数组是升序的，所以我在[l,mid - 1]继续寻找}$

$\text{（并将res赋值为mid（res初始为- 1））}$$\text{想要找到一个比aim大但是比A[mid]更小的数}$

$\text{如果A[mid]正好是第一个大于aim的数字，则意味着[l,mid - 1]中没有比aim更大的数字了，那么l会一直更新直到 l > r 循环结束}$

如果数组本身就没有大于aim的数字，l就会一直更新，直到 l > r，这个过程中res没有一次更新，res在循环结束后依然是-1

则res == -1 变成了一个判断找没找到的条件

$\text{其他同理}$

对于我今天遇到的问题，就是当A[mid]>aim时，我要在[mid + 1, r]中去找，想要找到一个大于aim并且比A[aim]更大的数，即向着最后一个大于aim的数字找去

后续细节和上面解释的一样

再就是Dilworth 定理：他的数学定义为对于一个偏序集，最少链划分等于最长反链长度

在这个求最长不升序列的背景下，Dilworth 定理可以解释为：一个序列的最少不升子序列划分块的数量，等于这个序列最长上升子序列的长度

注意：不升子序列对应<=，他的反链对应上升，即>，要清楚二分的时候求的东西