题解 CF1034B Little C Loves 3 II

题意

给定一个 \(n\times m\) 的棋盘，每次可以在上面放一对棋子 \((x,y)\)，\((x',y')\)，要求 \(|x-x'|+|y-y'|=3\)，问最多可以放多少个棋子。

题解

本题中的「一对棋子」本质上只有如下两种摆放方式。

1. \(||x-x'|-|y-y'||=3\)。

2. \(||x-x'|-|y-y'||=1\)。

我们用这两种摆放方式可以凑出如下四种完整的棋盘。

1. \(1\times6\)

2. \(2\times4\)

3. \(2\times5\)

4. \(3\times4\)

当 \(n\)，\(m\) 足够小时，情况可能会有些特殊，我们先单独考虑这些情况。

情况 1 ： \(n=1\) 或 \(m=1\)

不难发现只能使用第 \(1\) 种摆法。

每 \(6\) 个为一循环节，剩下 \(x\) 个格若多于 \(3\) 个又可以放 \(x-3\) 对。

所以答案为 \(\lfloor\dfrac{\max(n,m)}{6}\rfloor\times6+\max(0,\max(n,m)\mod6-3)\times2\)。

情况 2 ： \(n=2\) 或 \(m=2\)

不妨设 \(n=2\)。

此时，若 \(m=4a+5b+6c\) 有自然数解，则 \(2\times m\) 的棋盘可以用 \(a\) 个 \(2\times4\) 的棋盘，\(b\) 个 \(2\times5\) 的棋盘和 \(2c\) 个 \(1\times6\) 的棋盘拼成，答案为 \(n\times m\)。

不难得出只有 \(m=2,3,7\) 时无解。

所以 \(n=m=2\) 时，答案为 \(0\)；\(n=2,m=3\) 或 \(m=2,n=3\) 时，答案为 \(4\)；\(n=2,m=7\) 或 \(m=2,n=7\) 时，答案为 \(12\)；否则答案为 \(n\times m\)。

情况 3 ： \(2|n,n\ge4,m\ge3\) 或 \(2|m,m\ge4,n\ge3\)

不妨 \(2|n\)，\(n=2k\)。

若 \(m\ne3,7\)，则可以由 \(k\) 个 \(2\times m\) 的棋盘拼成，答案为 \(n\times m\)。

若 \(m=7\)，则可以用 \(k\) 个 \(2\times5\) 的棋盘和 \(1\) 个 \(2\times2k\) 的棋盘拼成，答案为 \(n\times m\)。

若 \(m=3,2|k\)，设 \(k=2t\)，则 \(n=4t\)，可以用 \(t\) 个 \(3\times4\) 的棋盘拼成，答案为 \(n\times m\)。

若 \(m=3,2\nmid k\)，设 \(k=2t+1\)，则 \(n=4t+2\ge6\)，可以用 \((t-1)\) 个 \(3\times4\) 的棋盘和 \(3\) 个 \(1\times6\) 的棋盘拼成，答案为 \(n\times m\)。

所以这类情况答案均为 \(n\times m\)。

情况 4 ： \(2\nmid n,2\nmid m,n\ge3,m\ge3\)

不难发现答案一定不超过 \(n\times m-1\)，且借助 \(1\times6\) 的棋盘可知一定情况下，\(n\times m\) 的棋盘与 \((n\mod6)\times(m\mod6)\) 的棋盘等价。

情况 4.1 ： \(n\mod6=3\) 或 \(m\mod6=3\)

不妨设 \(n\mod6=3\)，则这等价于 \(n=3,m\ge3\)。

对于任意大等于 \(3\) 的奇数 \(m\)，我们总可以按如下方法递归地构造出如下图形。

\(m=3\)：

\(m=5\)：

\(m=7\)：

\(m=9\)：

对于最后一个图形我们可以这样摆放棋子：

此时总共放了 \(n\times m-1\) 个棋子，达到最优状态，故答案为 \(n\times m-1\)。

情况 4.2 ： \(n\mod6=5\) 或 \(m\mod6=5\)

不妨设 \(n\mod6=5\)，则这等价于 \(n=5,m\ge3\)。

借助 \(2\times5\) 的棋盘可知，这等价于 \(1\times5\) 的棋盘。

而 \(1\times5\) 的棋盘上最多可摆放 \(4\) 个棋子，此时总共放了 \(n\times m-1\) 个棋子，达到最优状态，故答案为 \(n\times m-1\)。

情况 4.3 ： \(n\mod6=1\) 且 \(m\mod6=1\)

这等价于 \(n=m=1\)，此时总共放了 \(n\times m-1\) 个棋子，达到最优状态，故答案为 \(n\times m-1\)。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
LL n,m,ans;
template<class T>void read(T &x)
{
	x=0;int f=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9')f|=(ch=='-'),ch=getchar();
	while(ch>='0' && ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	x=f? -x:x;return ;
}
inline LL max(LL a,LL b)
{
	return a>b? a:b;
}
int main()
{
	read(n),read(m);
	if(n==1 || m==1)return 0&printf("%lld",(max(n,m)/6)*6+max(0,(max(n,m)%6)-3)*2);
	if(n==2 && m==2)return 0&printf("0");
	if((!(n&1) && m>=3) || (!(m&1) && n>=3))return 0&printf("%lld",((n*m)/2-((n==2 && m==3) || (m==2 && n==3) || (n==2 && m==7) || (m==2 && n==7)))*2);
	if((n%6)==3 || (m%6)==3)return 0&printf("%lld",((n*m)/2)*2);
	if((n%6)==5 || (m%6)==5)return 0&printf("%lld",((n*m)/2)*2);
	return 0&printf("%lld",((n*m)/2)*2);
}