动态规划问题特性

动态规划问题特性

在前面的学习中，我们了解了动态规划是如何通过子问题分解来求解原问题的。实际上子问题分解是一种通用的算法思路，在分治、动态规划、回溯中的侧重点不同。

• 分治算法递归地将原问题划分为多个相互独立的子问题，直至最小子问题，并在回溯中合并子问题的解，最终得到原问题的解。
• 动态规划也对问题进行递归分解，但与分治算法的主要区别是，动态规划中的子问题是相互依赖的，在分解过程中会出现许多重叠子问题。
• 回溯算法在尝试和回退过程中穷举所有可能的解，并通过剪枝避免不必要的搜索分支。原问题的解由一系列决策步骤构成，我们可以将每个决策步骤之前的子序列看作一个子问题。

实际上，动态规划常用来求解最优化问题，它们不仅包含重叠子问题，还具有另外两大特性：最优子结构、无后效性。

最优子结构

我们对爬楼梯问题稍作改动，使之更加适合展示最优子结构概念。

爬楼梯最小代价
给定一个楼梯，你每步可以上1阶或2阶，每一阶楼梯上都贴有一个非负整数，表示你在该台阶所需付出的代价。给定一个非负整数数组\(cost\)，其中\(cost[i]\)表示在第\(i\)个台阶所需付出的代价，\(cost[0]\)为地面（起始点）。请计算最少需要付出多少代价才能达到顶部？

如下所示，若第1、2、3阶的代价分别为1、10、1，则从地面爬到第3阶的最小代价为2.

设\(dp[i]\)为爬到第\(i\)阶累计付出的代价，由于第\(i\)阶只可能从\(i-1\)或\(i-2\)阶走来，因此\(dp[i]\)只可能等于\(dp[i-1]+cost[i]\)或\(dp[i-2]+cost[i]\)。为了尽可能减少代价，我们应该选择两者中较小的那一个：

\[dp[i] = min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i] \]

由此可以引出最优子结构的含义：原问题的解是从子问题的最优解构建得来的。

本题显然具有最优子结构：我们从两个子问题最优解\(dp[i-1]\)和\(dp[i-2]\)中挑选出较优的那一个，并用它构建出原问题\(dp[i]\)的最优解。

根据状态转移方程，以及初始状态\(dp[1]=cost[1]\)和\(dp[2]=cost[2]\)，我们可以得到动态规划代码：

/* 爬楼梯最小代价：动态规划 */
int minCostClimbingStairsDP(vector<int>& cost) {
    int n = cost.size() - 1;
        if (n == 1 || n == 2)
            return cost[n];
    // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
    vector<int> dp(n + 1);
    // 初始状态：预设最小子问题的解
    dp[1] = cost[1];
    dp[2] = cost[2];
    // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
    }
    return dp[n];
}

下图展示了动态规划过程

同样可以进行空间优化，将一维压缩至零维，使得空间复杂度从\(O(n)\)降至\(O(1)\):

/* 爬楼梯最小代价：空间优化后的动态规划 */
int minCostClimbingStairsDPComp(vector<int>& cost) {
    int n = cost.size() - 1;
    if (n == 1 || n == 2)
        return cost[n];
    int a = cost[1], b = cost[2];
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = b;
        b = min(a, tmp) + cost[i];
            a = tmp;
    }
    return b;
}

无后效性

无后效性是动态规划能够解决问题的重要特征之一，其定义为：给定一个确定状态，它的未来发展只与当前状态有关，而与过去经理的所有状态无关。

以爬楼梯问题为例，给定状态\(i\),它会发展处\(i+1\)和状态\(i+2\)，分别对应跳一步和跳2步。在做出这两种选择时，我们无需考虑状态\(i\)之前的状态，它们对于状态\(i\)的未来没有影响。

然而，如果我们给爬楼梯问题添加一个约束，情况就不一样了。

带约束爬楼梯
给定一个共有\(n\)阶的楼梯，你每步可以上1阶或者2阶，但不能连续两轮跳1阶，请问有多少种方案可以爬到楼顶？

如图所示，爬上第3阶仅剩2种可行方案，其中连续三次跳1阶的方案不满足约束条件，因此被舍弃。

在该问题中，如果上一轮是跳1阶上来的，那么下一轮就必须跳2阶。这意味着，下一步选择不能由当前状态（所在楼梯阶数）独立决定，还和前一个状态（上一轮所在阶数）有关。

不难发现，此问题已不满足无后效性，状态转移方程\(dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]\)也失效了，因为\(dp[i-1]\)代表本轮跳1阶，但其中包含了许多“上一轮是跳1阶来的”方案，而为了满足约束，我们就不能将\(dp[i-1]\)直接计入\(dp[i]\)中。

为此，我们需要扩展状态定义：状态\([i,j]\)表示出在第\(i\)阶并且上一轮跳了\(j\)阶，其中\(j \in \{1,2\}\)。此状态定义有效区分了上一轮跳了1阶还是2阶，我们可以据此来判断当前状态是从何而来的。

• 当上一轮跳了1阶时，上上一轮只能选择跳2阶，即\(dp[i,1]\)只能从\(dp[i-1,2]\)转移过来。
• 当上一轮跳了2阶时，上上一轮可以选择跳1阶或跳2阶，即\(dp[i,2]\)可以从\(dp[i-2,1]\)或者\(dp[i-2,2]\)转移过来。

在该定义下，\(dp[i,j]\)表示状态\([i,j]\)对应的方案数。此时状态转移方程为：

\[dp[i,1]=dp[i-1,2] \]

\[dp[i,2]=dp[i-2,1]+dp[i-2,2] \]

最终返回$dp[n,1]+dp[n,2]即可，两者之和代表爬到第n阶的方案总数：

class ClimbingStairs {
public:
	int climbingStairsConstrainDP(int n) {
		if (n < 3) return 1;
		vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(2));
		dp[1] = { 1, 0 };
		dp[2] = { 0, 1 };
		for (int i = 3; i <= n; ++i) {
			dp[i][0] = dp[i - 1][1];
			dp[i][1] = dp[i - 2][0] + dp[i - 2][1];
		}
		return dp[n][0] + dp[n][1];
	}
};

在上面的案例中，由于仅需多考虑前面一个状态，因此我们仍然可以通过扩展状态定义，使得问题重新满足无后效性。然而，某些问题具有非常严重的“有后效性”。

爬楼梯与障碍生成
给定一个共有n阶的楼梯，每步可以上1阶或2阶。规定当爬到第\(i\)阶时，系统会自动在第\(2i\)阶上放障碍物，之后所有轮都不允许跳到第\(2i\)阶上。例如，前两轮分别跳到了2、3阶上，则之后就不能跳到第4、6阶上。请问有多少种方案可以爬到楼顶？

在这个问题中，下次跳跃依赖过去所有的状态，因为每一次跳跃都会在更高的阶梯上设置障碍，并影响未来的跳跃。对于这类问题，动态规划往往难以解决。

实际上，许多复杂的组合优化问题（例如旅行商问题）不满足无后效性。对于这类问题，我们通常会选择使用其他方法，例如启发式搜索、遗传算法、强化学习等，从而在有限时间内得到可用的局部最优解。