算法与数据结构——二叉搜索树

二叉搜索树

二叉搜索树（binary search tree）满足以下条件：

1. 对于根节点，左子树中所有节点的值 < 根节点的值 < 右子树中所有节点的值。
2. 对于任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，同样满足上一条件。

二叉搜索树的操作

我们将二叉搜索树封装为一个类BinarySearchTree，并声明一个成员变量root，指向树的根节点。

查找节点

给定目标节点值num，可以根据二叉搜索树的性质来查找。如图所示，我们先声明一个节点cur，从二叉树的根节点root出发，循环比较节点值cur.val和num之间的大小关系。

• 若cur.val < num，说明目标节点在cur的右子树中，因此执行cur = cur.right。
• 若cur.val > num，说明目标节点在cur的左子树中，因此执行cur = cur.left。
• 若cur.val = num，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点。

二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮卖出一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用O(logn)时间。

/*查找节点*/
TreeNode *search(int num,TreeNode *root){
	TreeNode * cur = root;
	while (cur != nullptr){
		// 目标节点在cur左子树中
		if (cur->val > num){
			cur = cur->left;
		// 目标节点在cur右子树中
		}else if (cur->val < num){
			cur = cur->right;
		}
		// 找到目标节点，跳出循环
		else{
			break;
		}
	}
	return cur;
}

插入节点

给定一个待插入元素num，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作流程如图所示。

• 查找插入位置：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和num的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至None）时跳出循环。
• 在该位置插入节点：初始化节点num，将该节点至于None的位置。

在代码实现中，需要注意以下两点。

• 二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将违反其定义。因此在插入节点在树中已存在，则不执行插入，直接返回。
• 为了实现插入节点，我们需要借助节点pre保存上一轮循环的节点。这样在遍历至None时，我们可以获取到其父节点。

/*插入节点*/
void BinarySearchTree::insert(int num){
	// 树为空 则初始化根节点
	if (root == nullptr){
		root = new TreeNode(num);
		return;
	}
	
	TreeNode * cur = root;
	TreeNode * pre = nullptr;
	while (cur != nullptr){
		pre = cur;
		if (cur->val < num){
			// 值大于节点 应放右子树中
			cur = cur->right;
		}
		else if (cur->val > num){
			// 值小于节点 应放左子树中
			cur = cur->left;
		}
		else{
			// 重复 该值已存在
			return;
		}
	}
	// 插入节点
	TreeNode * node = new TreeNode(num);
	if (pre->val < num){
		pre->right = node;
	}
	else{
		pre->left = node;
	}
}

与查找节点相同，插入节点使用O(logn)时间。

删除节点

先在二叉树中查找到目标节点，再将其删除。与插入节点类似，我们需要保证在删除操作完成后，二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质仍然满足。因此，我们根据目标节点的子节点数量，分0、1和2三种情况，执行对应的删除节点操作。

• 当待删除节点的度为0时，表示该节点是叶节点，可以直接删除。
  

• 当待删除的节点的度为1时，将待删除节点替换为其子节点即可。
  

• 当待删除节点的度为2时，我们无法直接删除它，而需要使用一个节点替换该节点。由于要保持二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，因此这个节点可以使右子树最小的节点或左子树最大的节点。

假设我们选择右子树的最小节点（中序遍历的下一个节点），删除流程如下图：

• 找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为tmp。
• 用tmp的值覆盖待操作节点的值，并在树中递归删除节点tmp。

删除节点操作同样使用O(logn)时间，其中查找待删除节点需要O(logn)时间，获取中序遍历后继结点需要O(logn)时间，示例代码如下：

/*删除节点*/
void BinarySearchTree::remove(int num){
	// 如果树为空 提前返回
	if (root == nullptr){
		return;
	}
	TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
	while (cur != nullptr){
		if (cur->val == num)
			break;
		pre = cur;
		if (cur->val < num){
			cur = cur->right;
		}
		else{
			cur = cur->left;
		}
	}
	// 未找到删除节点，则直接返回
	if (cur == nullptr)
		return;
	// 子节点数量为 0 或 1
	if (cur->left == nullptr || cur->right == nullptr){
		// nullptr 或者 该子节点
		TreeNode*child = cur->left == nullptr ? cur->right : cur->left;
		// 删除节点cur
		if (cur != root){
			if (pre->left == cur)
				pre->left = child;
			else
				pre->right = child;
			
		}else{
			// 删除节点为根节点，则重新指定根节点
			root = child;
		}
		// 释放内存
		delete cur;
	}
	// 子节点数量为 2
	else {
		// 获取中序遍历中cur的下一个节点
		TreeNode *tmp = cur->right;
		while (tmp->left != nullptr){
			tmp = tmp->left;
		}
		int tmpVal = tmp->val;
		// 递归删除节点tmp
		remove(tmp->val);
		// 用tmp覆盖cur
		cur->val = tmpVal;
	}
}

中序遍历有序

如图所示，二叉树的中序遍历遵循“左 -> 根 -> 右”的遍历顺序，而二叉搜索树满足“左子节点 < 根节点 < 右子节点”的大小关系。

这意味着在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一个重要性质：二叉搜索树的中序遍历是升序的。

利用中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需O(n)时间，无需进行额外的排序操作，非常高效。

二叉搜索树的效率

给定一组数据，我们考虑使用数组或者二叉搜索树存储，二叉搜索树的各项操作时间复杂度总是对数阶，具有稳定且高效的性能。只有在高频添加、低频查找删除数据的场景下，数组比二叉搜索树的效率更高

	无序数组	二叉搜索树
查找元素	O(n)	O(logn)
插入元素	O(1)	O(logn)
删除元素	O(n)	O(logn)

在理想情况下，二叉搜索树是“平衡”的，这样就可以在logn轮循环内查找任意节点。
然而，如果我们在二叉搜索树中不断插入和删除节点，可能导致二叉树退化为链表，这是各种操作的时间复杂度也会退化为O(n)。

二叉搜索树常见应用

• 用作系统中的多级索引，实现高效的查找、插入、删除操作。
• 作为某些搜索算法的底层数据结构。
• 用于存储数据流，以保持其有序状态。