算法与数据结构——二叉树数组表示

二叉树数组表示

在链表表示下，二叉树的存储单元为节点TreeNode，节点之间通过指针相连接。同前面的队列或栈，二叉树同样可以使用数组来表示。

表示完美二叉树

给定一棵完美二叉树，我们将所有节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，则每个节点都对应唯一的数组索引。

按照层序遍历的特性，我们可以推导处父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：若某节点的索引为i，则该节点的左子节点索引为 2i+1，右子节点索引为 2i+2 。如图展示了各个节点索引之间的映射关系。

**映射公式的角色相当于链表中的节点引用（指针）。给定数组中的任意一个节点，我们都可以通过映射公式来访问它的左（右）子节点。

表示任意二叉树

完美二叉树是一个特例，在二叉树的中间层通常存在许多None。由于层序遍历序列并不包含这些None，因此我们无法仅凭借该序列来推测None的数量和分布位置。这意味着存在多种二叉树结构都符合该层序遍历序列。

如图所示，给定一棵非完美二叉树，上述数组表示方法已经失效。

为解决此问题，我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有None。这样处理后，层序遍历序列就可以表示唯一的二叉树了。

	/* 二叉树的数组表示 */
	// 使用 int 最大值 INT_MAX 标记空位
	vector<int> tree = { 1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15 };

值得说明的是，完全二叉树非常适合使用数组来表示。回顾完全二叉树的定义，None只出现在最底层且 靠右的位置，因此所有None一定出现在层序遍历序列的末尾。

使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储所有None,非常方便。

以下代码实现了一棵基于数组表示的二叉树，包括以下几种操作。

• 给定某节点，获取它的值，左（右）子节点，父节点。
• 获取前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历序列。

/*数组表示下的二叉树类*/
class ArrayBinaryTree{
public:
	/*构造方法*/
	ArrayBinaryTree(vector<int> arr){
		tree = arr;
	}
	/*列表容量*/
	int size(){
		return tree.size();
	}
	/*获取索引为i节点的值*/
	int val(int i){
		// 若索引越界，则返回 INT_MAX，代表空位
		if (i < 0 || i >= size())
			return INT_MAX;
		return tree[i];
	}
	/*获取索引为i节点的左子结点的索引*/
	int left(int i){
		return 2 * i + 1;
	}
	/*获取索引为i节点的右子节点的索引*/
	int right(int i){
		return 2 * i + 2;
	}
	/*获取索引为i节点的父节点的索引*/
	int parent(int i){
		return (i - 1) / 2;
	}
	/*层序遍历*/
	vector<int> levelOrder(){
		vector<int> vec;
		for (int num : tree){
			if (num != INT_MAX)
				vec.push_back(num);
		}
		return vec;
	}
	/*前序遍历*/
	vector<int> preOrder(){
		vector<int> vec;
		dfs(0, "pre", vec);
		return vec;
	}
	/*中序遍历*/
	vector<int> inOrder(){
		vector<int> vec;
		dfs(0, "in", vec);
		return vec;
	}
	/*后序遍历*/
	vector<int> postOrder(){
		vector<int> vec;
		dfs(0, "post", vec);
		return vec;
	}

private:
	vector<int> tree;
	/*深度优先遍历*/
	void dfs(int i, string order, vector<int> &res){
		if (val(i) == INT_MAX){
			return;
		}
		if (order == "pre"){
			res.push_back(val(i));
		}
		dfs(left(i), order, res);
		if (order == "in"){
			res.push_back(val(i));
		}
		dfs(right(i), order, res);
		if (order == "post"){
			res.push_back(val(i));
		}
	}
};

优点与局限性

二叉树的数组表示有如下优点：

• 数组存储在连续的内存空间中，对缓存友好，访问与遍历速度较快。
• 不需要存储指针，比较节省空间。
• 允许随机访问节点。

数组也存在一些局限性：

• 数组存储需要连续内存空间，因此不适合存储数据量过大的树。
• 增删节点需要通过数组插入与删除操作实现，效率较低。
• 当二叉树中存在大量None时，数组中包含的节点数据比重低，空间利用率低。