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多项式拟合

来源:同登科 《计算方法》 中国石油大学出版社 P106

  *何为拟合?

  从给定的函数表出发,寻找一个简单合理的函数近似表达式来拟合给定的一组数据。

   这里所说的“拟合”,即不要所作的曲线完全通过所有的Σ数据点,只要求所得的近似曲线能反映数据的基本趋势。数据拟合在实际中有广泛的应用。

   它的实质是离散情况下的最小平方趋近,基本思想和处理方法也具有相似性。其几何解释是:求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处。

 

 *多项式拟合

  设由实验测得函数y=f(x)在n个点x1 ,x2,...,xn的值为y1,y2,...,yn,要求这个函数的一个近似表达式。我们用一个次数低于n-1(m<n-1)的多项式φm(x)来拟合它,设

                φm(x) = a0+a1x+a2x2+…+amxm        (m < n -1)                        (1)

  用最小二乘来确定系数a0,a1,…,am,令

                Q(a0,a1,...,am)  = ni=1m(x)-yi)2

                       = ∑ni=1(a0+a1xi+a2x2i+...+amxmi-yi)2

  选a0,a1,...,am,使Q(a0,a1,...,am)达到最小,将Q对ak求偏导数,并令其等于零,有

 

 

                  

 

    或

                                      (2)

   写成矩阵形式为

                 (3)

   上述方程组就称为多项式拟合的正规方程组,其系数阵为一对称矩阵,计算时只须将下列一些和式求出即可:。若(3)式的系数行列式不等于零,则由(3)式可以唯一地确定系数a0,a1,...,am.


例  已知函数表如下

xi 1 3 4 5 6 7 8 9 10
yi 2 7 8 10 11 11 10 9 8

   试用二次多项式曲线来拟合这组数据。

解: 设二次多项式为φ(x) = a0+a1x+a2x2,为了得到正规方程组,必须先算出以下各和:

            

列表如下:

            

由上表得正规方程组为

                  

求解得  a0=-1.4597,a1=3.605,a2=-0.2676,

    故φ(x)=-1.4597+3.6053x-0.2676x2.

 

posted @ 2016-05-24 19:43  画鱼  阅读(5230)  评论(0编辑  收藏  举报