polya

Pólya定理

参考知乎算法学习笔记(54): Pólya定理 - 知乎 (zhihu.com)

群

包含一个集合G与定义在其上的运算×

其满足封闭性

\[\forall a\in G,b\in G,a\times b\in G \]

结合律

\[\forall a,b,c\in G,(a\times b)\times c=a\times(b\times c) \]

单位元存在

\[\exist\varepsilon\in G\forall a\in G，(\varepsilon\times a=a\times\varepsilon=a) \]

逆元存在

\[\forall a\in G\exist i\in G,(i\times a=a\times i=\varepsilon) \]

我们把从一个集合到它自己本身的双射称为置换，置换则常常用轮换表达式来表示。例如 中， 表示这样的一个置换

\[\matrix{ x & f(x)\\ 1 & 2\\ 2 & 3\\ 3 & 4\\ 4 & 1 } \]

1,2,3,4只代表第几个元素，并不表示具体的数

\[表示存在一个从1\to2\to3\to4(\to1)的置换，也可等价的写为(2\ 3\ 4\ 1),(3\ 4\ 1\ 2)等 \]

(1 3)(2 4)表示这样的一个置换

\[\matrix{ x & f(x)\\ 1 & 3\\ 2 & 4\\ 3 & 1\\ 4 & 2 } \]

\[其存在1\to3(\to1),2\to4(\to2)两个轮换 \]

鸽了，剩下的参考知乎的链接吧……