求解递推数列

求解递推数列

\[现有a_n=Aa_{n-1}+Ba_{n-2}\\ 假设a_n=x^n\\ 那么就有x^2=Ax+B\\ 当x无解时,数列为一个有周期的数列\\ 当x有一个解时，a_n=x^n\\ 当x有两个解x_1,x_2时,设a_n=C{x_1}^n+D{x_2}^n,代入前两项求解C,D即可 \]

Fibonacci数列的通项公式

\[递推式a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\\ 设其特征方程x^2-x-1=0\\ 解得\begin{cases}x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{cases}\\ 那么a_n=C{x_1}^n+D{x_2}^n=C({\frac{1+\sqrt{5}}{2}})^n+D({\frac{1-\sqrt{5}}{2}})^n \]

\[设a_0=1,a_1=1\\ 那么有\begin{cases}1=C+D\\1=C(\frac{1+\sqrt{5}}{2})+D(\frac{1-\sqrt{5}}{2})\end{cases}\\ 解得\begin{cases}C=\frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\\D=\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}\end{cases}\\ 代入化简得a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(({\frac{1+\sqrt{5}}{2}})^{n+1}-({\frac{1-\sqrt{5}}{2}})^{n+1}) \]