关于最大子段和及其变式
建议看这篇博客。
本篇文章记录了笔者的一些理解，有点方面并没有写的很完善，请见谅。
最大子段和
\(f_i\) 为以 \(i\) 为结尾的最大子段和。
考虑一个 \(i\)，若前面的最大子段加上自己不如自己作为单独一个头的话，那么就取自己，即为
2023/10/20 upd:注意：这里所有的 \(a_i\) 都应为非负数。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6+5;
int n, ans = -1e9, a[N], f[N];
int main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
f[1] = a[1];
for (int i = 2; i <= n; ++i) f[i] = max(f[i-1]+a[i], a[i]);
for (int i = 2; i <= n; ++i) f[i] = max(f[i-1], f[i]);
cout << f[n];
return 0;
}
例题：P1115。
环状最大子段和
可以考虑破环成链，前提是得限制子段的长度，可以选择转移时记录当前子段的长度，较为麻烦。最大子段和等价于总和减去最小补集，因此我们希望尽可能地向这方面转化问题。考虑环状最大子段的位置。若环状最大子段没有过端点，那么正常求一遍最大子段和。否则，补集在区间内，我们只需求最小子段和即可。
注意：若题目要求子段不为空，那么最小子段不能覆盖到整个区间，那么只需求 \([1,n-1]\) 和 \([2,n]\) 的最小子段和，并对以上情况取最大值即可。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6+5;
int n, sum, ans = -1e9, a[N], f[N];
int getmax(int l, int r) {
f[l] = a[l];
for (int i = l+1; i <= r; ++i) f[i] = max(f[i-1]+a[i], a[i]);
for (int i = l+1; i <= r; ++i) f[i] = max(f[i-1], f[i]);
return f[r];
}
int getmin(int l, int r) {
f[l] = a[l];
for (int i = l+1; i <= r; ++i) f[i] = min(f[i-1]+a[i], a[i]);
for (int i = l+1; i <= r; ++i) f[i] = min(f[i-1], f[i]);
return f[r];
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
cin >> a[i];
sum += a[i];
}
ans = max(ans, getmax(1, n));
ans = max(ans, sum-getmin(1, n-1));
ans = max(ans, sum-getmin(2, n));
cout << ans;
return 0;
}
最大两段子段和
仿造最大子段和的分析，考虑两个子段之间的一个断点 \(i\)，那么答案为 \(i\) 前面最大子段和加上 \(i\) 后面的最大子段和，且这两个子段之间没有相交部分，也没有越过 \(i\)。因此，我们定义 \(f_i\) 为以 \(i\) 为右端点的最大子段和，\(g_i\) 为以 \(i\) 为左端点的最大子段和，\(f'_ i\) 为 \(\max_{j=1}^i\{f_j\}\)，\(g'_ i\) 为 \(\max_{j=i}^n\{g_j\}\)。那么答案为 \(\max_{i=2}^{n-1}\{f'_ {i-1}+g'_ {i+1}\}\)。
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e6+5;
int n, ans = -1e18, a[N], f[N], g[N];
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
f[1] = a[1], g[n] = a[n];
for (int i = 2; i <= n; ++i) f[i] = max(f[i-1]+a[i], a[i]);
for (int i = 2; i <= n; ++i) f[i] = max(f[i-1], f[i]);
for (int i = n-1; i; --i) g[i] = max(g[i+1]+a[i], a[i]);
for (int i = n-1; i; --i) g[i] = max(g[i+1], g[i]);
for (int i = 2; i < n; ++i) ans = max(ans, f[i-1]+g[i+1]);
cout << ans;
return 0;
}
例题：P2642。
环状最大两段子段和
相信读者会了环状最大子段和 and 最大两段子段和后这个就能自己推出来了。只需两个结合起来，求最大两段子段和 and 最小两段子段和。
注意：若题目要求子段非空，两段子段和之间是不能相邻的。还需注意下面的例题中环状最大两子段是可以相邻的，那么补集可以不取。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6+5;
int n, sum, ans, a[N], f[N], g[N];
int getmax(int l, int r) {
int res = -1e9;
f[l] = a[l], g[r] = a[r];
for (int i = l+1; i <= r; ++i) f[i] = max(f[i-1]+a[i], a[i]);
for (int i = l+1; i <= r; ++i) f[i] = max(f[i-1], f[i]);
for (int i = r-1; i >= l; --i) g[i] = max(g[i+1]+a[i], a[i]);
for (int i = r-1; i >= l; --i) g[i] = max(g[i+1], g[i]);
for (int i = l; i < r; ++i) res = max(res, f[i]+g[i+1]);
return res;
}
int getmin(int l, int r) {
int res = 1e9;
f[l] = a[l], g[r] = a[r];
for (int i = l+1; i <= r; ++i) f[i] = min(f[i-1]+a[i], min(a[i], 0));
for (int i = l+1; i <= r; ++i) f[i] = min(f[i-1], f[i]);
for (int i = r-1; i >= l; --i) g[i] = min(g[i+1]+a[i], min(a[i], 0));
for (int i = r-1; i >= l; --i) g[i] = min(g[i+1], g[i]);
for (int i = l+1; i < r; ++i) res = min(res, f[i-1]+g[i+1]);
return res;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
cin >> a[i];
sum += a[i];
}
ans = getmax(1, n);
ans = max(ans, sum-getmin(1, n-1));
ans = max(ans, sum-getmin(2, n));
cout << ans;
return 0;
}
例题：P1121。
