【方案数】 递推如何解决？CCF1171

     本文为作者原创。

这是我第一次写博客，不便之处请谅解。

方案数

 

题目描述：

有一个类似弹球的游戏，如下图，小球从上下滑落，每次到一个交叉点都有两种选择：向左或向右滑落，如果有一个球从顶端滑落到低端有多少种走法?特别是交叉点中有一些陷阱，小球掉进陷阱就不能走了。

 

首先来看一下样例：

        1.定义了一个四行的三角形

        2.三排第二个点是陷阱

 

        不难理解，小球从上方到第三行路径有2条，第四行有4条，所以一共只有4条路径可走。

如果用递归，那么我们要从顶部往下，每一个点都引申出左下和右下两个点，每当遇上陷阱，就返回0,  表示没有路可走。

但这样太慢了！

 

       为什么呢？

因为跟数字三角形那一道经典题一样，递归的点重复了，三角形的行数越多，重复调用的次数更是翻倍激增。

       那么该如何解决呢？

我们可以用递归。

递归思路：

      1.把三角形底部都设置成1

      2.从下往上递推，两个点相加放在上面那个点里

      3.遇上陷阱就把上面那一个点变为0

      4.最上面的点就是结果了

代码实现：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    int a[100][100],n,m,x,y;
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<m;++i){
        cin>>x>>y;
        a[x-1][y-1]=-1;//标志陷阱
    }
    for(int i=0;i<n;++i){
        a[n-1][i]=1;//第一步
    }
    for(int i=n-2;i>=0;i--){
        for(int j=0;j<=i;j++){
            if(a[i][j]==-1){
                a[i][j]=0;//第三步
                continue;
            }
            else {
                a[i][j]=a[i+1][j]+a[i+1][j+1];//第二步
            }
        }
    }
    cout<<a[0][0];//第四步
    return 0;
}

于是题目就通过了！

时间复杂度：O(n)。