让你秒懂的快速幂入门教程

让你秒懂的快速幂入门教程

我们先来看一个例子：如何计算\(2^8\)？

首先，你会想到直接把\(8\)个\(2\)乘起来，像这样：

\[\begin{aligned} 2*2&=4 \\ 4*2&=8 \\ 8*2&=16 \\ 16*2&=32 \\ 32*2&=64 \\ 64*2&=128 \\ 128*2&=256 \end{aligned} \]

这样需要做7次乘法运算。有没有更快的做法呢？其实还可以这样：

\[2^2=4 \\ 4^2=16=(2^2)^2=2^{2*2}=2^4 \\ 16^2=256=(2^4)^2=2^{2*2*2}=2^8 \]

上面的过程可以形象地理解为：

这样只需要做3次乘法运算，就能算出\(2^8\)的值！

上面这个例子揭示了快速幂算法的核心思想。即，要运算一个数\(a\)的\(2^n\)次方，可以将其自乘\(n\)次，每次指数都会翻倍，这样能够快速算得\(a^{2^n}\)的值。用c++写起来就是这样：

int a=2,n=8;
n=log2(n); //log2()函数定义中头文件<cmath>中，表示以2为底取对数
for(int i=1;i<=n;++i){
    a=a*a;
}

那你可能想问了，如果幂指数不是\(2\)的整数次方，该如何计算呢？以\(2^7\)为例：

我们只要把指数\(7\)化为几个\(2\)的整数次方之和（\(2^2+2^1+2^0\)），再将对应的\(2^{2^2},2^{2^1},2^{2^0}\)乘起来，就能得到\(2^7\)。

看到这里，机智的你可能发现了什么：把一个十进制数化为几个2的整数次方之和，这不就是进制转换的过程吗？

\[(7)_{10}=(111)_{2} \\ 7=2^2+2^1+2^0 \]

二进制，正是计算机最擅长的东西。c++中有&和>>运算符，是针对二进制数进行运算的。

a&b得到a与b按位与的结果，如果将一个数&1，由于1除了末位其余位都是0，与的结果也是0，那么只需考虑末位，如果这个数的末位为1，得到的就是1；如果这个数末位是0，得到的就是0。我们可以用这个方法来判断一个数的二进制末位是否为1。

a>>b得到将数a的二进制都向右移动b位。可以类比十进制，向右移动一位（也就是小数点向左移动一位）表示将这个数除10，二进制中右移一位就是除2。

int quick_power(int a,int n){
    int ans=1;  //ans要初始化为1
    while(n){   //当n不为0时继续进行快速幂
        if(n&1){    //若n的二进制末位为1则返回真
            //如果n的二进制数第i位为1，说明将幂指数n分解之后会包含2^i
            //因此需要将当前计算的a^(2^i)乘进答案
            ans=ans*a;
        }
        n>>=1; //表示将二进制数n左移一位，舍弃最低位
        a=a*a; //计算a^(2^i)
    }
    return ans;
}