线性基

定义：

  线性基是向量空间的一组基，通常可以解决有关异或的一些题目。是一个数的集合，并且每个序列都拥有至少一个线性基，取线性基中若干个数异或起来可以得到原序列中的任何一个数。

<font color=red,size=4>线性基的值域与原数组的值域相同，此处的值域是指任意数异或所能得到的值。

性质：

1.原序列里面的任意一个数都可以由线性基里面的一些数异或得到；
2.线性基里面的任意一些数异或起来都不能得到 \(0\)；
3.线性基里面的数的个数唯一，并且在保持性质 \(1\) 的前提下，数的个数是最少的；

线性基的构造：

比如一列数：\(2,9,10,17\)，\(d[i]\) 表示线性基中的元素，即二进制表示中最高位为第 \(i\) 位的数，唯一。各自二进制表示为：

\(2\to 00010\)
\(9\to 01001\)
\(10\to 01010\)
\(17\to 10001\)

即：

\[\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 &1 \end{matrix} \right] \]

我们从二进制位的最高位开始：
第 \(4\) 位：只有 \(17\) 一个，把 \(17\) 加入线性基中；
第 \(3\) 位：先找到 \(10\) ，将其加入，然后有发现了 \(9\)，因为 \(d[3]\) 是唯一的，所以不能将 \(9\) 加入。但是我们可以将 \(9\) 用 \(9\bigotimes 10=3\) 来表示，这样当我们需要 \(9\) 时，可以用 \(3\bigotimes 10\) 得到。

这样原矩阵就变成：

\[\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 &1 \end{matrix} \right] \]

第 \(2\) 位：全部为 \(0\)，跳过。
第 \(1\) 位：先发现 \(3\) ，加入。所以 \(2\) 不能直接加入，同样变换为 \(2\bigotimes 3=1\)。
第 \(0\) 位：只有 \(1\)，加入。

所以：

\[d=\left[ \begin{matrix} 17 & 10 & 0 & 3 &1 \end{matrix} \right] \]

完成改造。
代码实现：

void insert(long long x) {
  for (int i = 66; i>=0; i--) {
    if (!(x >> i))  // x的第i位是0
      continue;
    if (!d[i]) {
      d[i] = x;
      break;
    }
    x ^= d[i];
  }
}

性质证明：

性质1：
其实改造过程就可以证明。
如果把一个数插入，那么这个数肯定能被表示；
如果不插入，那么这个数一定会用其他数异或后插入。
如果 \(x\) 不能成功插入线性基，一定是因为当前线性基里面的一些数异或起来可以等于 \(x\)。
性质2：
由性质1。
性质3：
见参考博客1。

实际应用：

1.求最大值：
LOJ 113. 最大异或和

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[70],d[70];
void add(ll x)
{
    for(int i=60;i>=0;i--)
    {
        if((x>>i)&1)
        {
            if(d[i]==0)
            {
                d[i]=x;
                break;
            }
            x^=d[i];
        }
    }
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&a[i]);
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        add(a[i]);
    for(int i=60;i>=0;i--)
    {
        if((ans^d[i])>ans)//异或的优先级低
            ans^=d[i];
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

2.判断一个数是否能被当前线性基中的元素异或得到
把它尝试插入进线性基里面去，假如可以插入，说明不能异或得到，假如插不进去，则说明可以异或得到
xor序列

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
ll d[35];
void add(ll x)
{
    for(int i=32;i>=0;i--)
    {
        if((x>>i)&1)
        {
            if(d[i]==0)
            {
                d[i]=x;
                break;
            }
            x^=d[i];
        }
    }
}
bool solve(ll num)
{
    for(int i=32;i>=0;i--)
    {
        if((num>>i)&1)
        {
            if(d[i]==0)
                return 0;
            num^=d[i];
        }
    }
    return 1;
}
int main()
{
    int n,q;
    ll a,x,y;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&a);
        add(a);
    }
    scanf("%d",&q);
    while(q--)
    {
        scanf("%lld%lld",&x,&y);
        if(solve(x^y))
            printf("YES\n");
        else
            printf("NO\n");
    }
    return 0;
}

参考博客1
参考博客2