随笔分类 - 数论
摘要：题意： 给出同一个数 \(n\) \((1\leq n \leq 10^9)\)，两个人玩游戏，有两种操作： 1.除以一个大于 $1$ 的奇数因子 2.当 \(n>1\) 时，可以减 $1$ 无法操作的人输。 传送门 分析： 题目想复杂了，首先可以发现： \(n=1\)，必输； \(n=2\)，必胜
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摘要：题意： 给定 \(n\) 个数 \(P={p^{k_i}}\)，将这 \(n\) 个数划分到两个集合中，使得这两个集合各自和之间的差值最小，求最小的差值对 $1e9+7$ 取模。 $1≤n,p≤106,0≤k_i≤106)$ 分析： \(p\) 进制，数学归纳法。 首先，确定最优的策略： 将 \(k
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摘要：题意： 求出满足要求的数组个数： $1\leq a[i] \leq n，1\leq a[1]<a[2]<...<a[k]\leq n$，元素个数为：\(k\) 分析： 问题取决于最小的元素 \(a[1]\) 。 设 \(x=n*a[1]+m\)，则$x%a[1]=m$，即 \(x%a[1]%a[2]
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摘要：题意： 在一个 $n∗n$ 的棋盘上放置 $n$ 个车，满足以下两个条件： 1.棋盘上的每一个空格子都能被至少一只车走到； 2.恰好存在 $k$ 对车可以相互攻击； 求所有车的摆放方案数。 数据范围：$1≤n≤2 10^5,0≤k≤\frac{n(n−1)}{2}$ 分析： 首先，要想满足条件1，那
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摘要：题意： 求出区间 $[l_i,r_i]$ 内满足：$((xmod\ a)mod\ b)≠((xmod\ b)mod\ a)$ 的 $x$ 的个数。 数据范围：$1≤a,b≤200,1≤l_i≤r_i≤10^18 $ejv 分析： 根据取模的性质，最后取模的结果会以 $lcm(a,b)$ 为最小循环节
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摘要：题意： 其中，$f(1)=1,f(2)=1$。 "传送门" 分析： 首先先看斐波那契数列的几何意义： 图中各数字为正方形的边长。 可以发现其面积关系刚好满足题目中的等式： $$\sum_{i=1}^{n}{f(i)}=f(n)\times f(n+1)$$ 因此 $f(n)$ 实际上就是斐波那契数列
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摘要：题意： 计算： $$G^{\sum_{d|N}{C(N,d)}}\% p$$ 分析： 当 $G$ 和 $p$ 不互质时：答案为 $0$； 当 $G$ 和 $p$ 互质时： 根据欧拉降幂： $$G^{\sum_{d|N}{C(N,d)}}\% p=G^{\sum_{d|N}{C(N,d)}\%(p 1
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摘要：题意： 求当 $1\leq a\leq n,1\leq b\leq m$，有多少对 $(a,b)$ 满足 $gcd(a,b)$ 的质因子个数不大于 $p$。 分析： 根据经验，莫比乌斯反演主要要会构造函数，改变枚举变量，变量代换，经常需要各种预处理来优化时间复杂度。 令 $f(x)$ 表示 $x$
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摘要：题意： 有两种操作如下，问有多少种初始状态最终可以通过这两种方式达到最终要求。 数据范围：$1≤n,m,L,R≤10^9, L≤R, n⋅m≥2$ 答案模 $998,244,353$ 分析： 1.每个方格中立方体的数量不重要，重要的是数量的奇偶性。 因为操作 $2$ 可以把相同奇偶性的方格中的立方体
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摘要："讲解视频" 1.Headshot UVA 1636： 分析： 分类讨论，比较两种情况下没有子弹射出的概率大小； (1).如果直接射击，要使得没有子弹射出，且在第一次没有子弹射出的条件下，即求 $00$ 串数量占 $00$ 和 $01$ 总数量的比例（条件概率）； (2).如果要转一下再射击并保证没
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摘要：分析： 手动打表，发现：$ans=2^{(n 1)}\%mod$。 同时根据欧拉降幂公式： 可以发现 $gcd(2,1e9+7)=1$，所以采用第一种形式，直接取模即可。 另外， $(a 1)\%p=(a\%p 1+p)\%p$ 代码：
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摘要：欧拉定理： 如果 $a,p$ 互质，那么 $$a^{\varphi(p)}=1 mod\; p$$ 但注意满足该公式的数中 $\varphi(p)$ 不一定是最小的。 代码：
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摘要：题意： 统计 $0,1,2,⋯,10^{n−1}$ 所有数字中不同长度的连续区间数。 例如 $0111223$ 中有 $2$ 段长度为 $1$ 的区间， $1$ 段长度为 $2$ 的区间， $1$ 段长度为 $3$ 的区间。（如果数字不足 $n$ 位需要补充前导零） 数据范围：$1 \leq n \
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摘要：题意： 给定一个数组 $a$ ，数组中任意一个元素的因子数不超过 $7$ ，找出一个最短的子序列，满足该子序列之积为完全平方数。输出其长度。 数据范围：$1≤n≤10^5,1≤a_i≤10^6$ 分析： 首先，对于数组中的每个元素，如果其因子中包含有一个完全平方数，那么可以把该完全平方数除去，不影响
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摘要：1.$n!$ 中因子 $k$ 的个数： 以 $k=5$ 为例： 代码： 2.$gcd$相关: $gcd(a,b)=1 \Rightarrow gcd(a,a b)=1$ 3.欧拉函数相关： (1)求出小于等于 $n$ 且与 $n$ 互质的数的和： $$ans=\begin{cases} \frac{
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摘要：题意： You task is to find minimal natural number $N$, so that $N!$ contains exactly $Q$ zeroes on the trail in decimal notation. As you know $N! = 1 2 .
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摘要：题目： 求$\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{i 1}{[gcd(i+j,i j)=1]}}$ 数据范围：$T\leq 10^5,n\leq 2 10^7$ 分析： 一看数据范围这么大，基本上就要预处理，或者推公式求。 其实如果找规律的话，也可以找出。下面讲一下如何推导。 推导：
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摘要：题意： Duha 是 $1$ 号乘客，且只有他丢失了他的机票，其他乘客没有。 在去的时候，他是第一个上飞机的，而且他随机选择一个座位，后面的乘客如果发现座位被占，也会随机选择一个座位。求最后一个乘客坐在自己位置上的概率。 回来的时候，上飞机的顺序是随意的，问最后一个乘客坐在自己位置上的概率。 数据范
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摘要：题意： 给出函数 $f(x)=a_0+a_1 x+⋯+a_{n−1} x^{n−1}$，$g(x)=b_0+b_1 x+⋯+b_{m−1} x^{m−1}$， 保证：$gcd(a_0,a_1,…,a_{n−1})=gcd(b_0,b_1,…,b_{m−1})=1$ 令 $h(x)=f(x) g(x)
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