随笔分类 - 数论
摘要：题目 给出 \(n\) 个互不相同的数，求出满足要么 \(3\) 个数都两两互质，要么都不两两互质的三元组的个数。(\(3\leq n \leq 10^5,1\leq a_i \leq 10^5\)) 题目链接：https://vjudge.net/problem/HDU-5072 分析 如果直接从
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摘要：题目 https://ac.nowcoder.com/acm/contest/10746/F 分析 假设 \(\frac{(k+1)k}{2}\leq n < \frac{(1+(k+1))(k+1)}{2}\)，且 \(m=n-\frac{(1+k)k}{2}\)。每当不够减时，就要加一个 \(m
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摘要：基础 设 \[ f(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^{n}{\left\lfloor \frac{ai+b}{c} \right\rfloor} \] 其中，\(a,b,c,n\) 为常数，如何 \(O(\log n)\) 求解。 当 \(a\geq c\) 或者 \(b\geq c\) ，
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摘要：题意 定义 \(\text{He[N]}\) 表示满足以下方程的解的个数： \[ X^2\equiv X(\bmod N)(X\in [0,N-1]) \] 并且定义 \(\text{HeHe[N]}=\text{He[1]}\times \cdots \times \text{He[N]}\)，对
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摘要：题意 给出 \(n\) 个数，满足 \(\frac{lcm(x,y)}{gcd(x,y)}\) 为完全平方数的 \(x,y\) 称为相邻的。在每一秒，会发生以下操作： 每个数被所有和自己相邻数字(包括自己)的乘积所替换 设 \(d_i\) 为和数字 \(a_i\) 相邻的数字（包括自己）的数量 给出
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摘要：题意 数列 \(f(i)\) 使得对任意的 \(n\) 都有： \[ \sum_{i|n}{f(i)\times \sigma_p(\frac{n}{i})}=\sigma_q(n) \] 其中，\(\sigma_k(n)\) 表示 \(n\) 的约数的 \(k\) 次方和。求出 \(f_i\bmo
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摘要：亚线性筛 时间复杂度可以达到小于线性时间，可以解决 $1e8-1e11$ 范围内的问题。比如：杜教筛，\(\min 25\) 筛，州阁筛。 作用 符号规定：\(p\) 表示素数，\(P\) 表示素数集合 求大部分积性函数的的前缀和问题，形如： \[ \sum_{i=1}^{n}{f(i)} \] 可
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摘要：题意 若序列 \(A,B\) 满足 \(\sum_{i=1}^{K}{a_i}=N,\sum_{i=1}^{K}{b_i}=M\) ，则其对答案的贡献是：\(P=\prod_{i=1}^{K}{\min(a_i,b_i)}\)，问所有满足条件的序列的总贡献为多少。 $1\leq N,M \leq 1
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摘要：定义 一般地，若已知 \(y=f(x)\)， 在互不相同 \(n+1\) 个点：\(x_0,x_1,\dots x_n\) 处的函数值：\(y_0,y_1,\dots y_n\) ，即该函数过点：\((x_0,y_0),(x_1,y_1),\dots (x_n,y_n)\) ，则可以考虑构造一个过这
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摘要：题意 一个圆环，\(n\) 个点，编号分别为：$0,1,2,\dots ,n-1$。对于环上每个点 \(i\) 定义它的顺时针方向的下一个点的是 \((i+1) \bmod n\) 。现在进行 \(k\) 轮调整，每一轮，每个人都会独立地以 \(p_1\) 的概率向顺时针走一步，以 \(p_2\)
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摘要：题意 设 \(f(n)=\sum_{d|n}{|\mu(d)|}\)，求 \(\sum_{i=1}^{m}{f(ni)} \ mod\ 1e9+7\)。 $1\leq n,m \leq 10^7$ 分析 设 \(\omega(n)\) 表示 \(n\) 的不同质因子个数，根据 \(\mu\) 的定义
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摘要：题意 题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/7023/A 分析 解法1-哈希 可以利用哈希映射，但是可以要选择合适的模数，一开始选择的是 $1e9+7$，不行，换成 $1e9+9$ 才可以，或者 $2147483587$。 代码 #include <bit
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摘要：题意 已知 \(a,b,c,d,x,y\)，求： \[ \prod_{i=a}^{b}{\prod_{j=c}^{d}{gcd(x^i,y^j)}}\ mod\ 998244353 \] $0⩽a,b,c,d⩽3×106,0<x,y⩽109,a⩽b,c⩽d$ 题目链接：https://ac.nowc
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摘要：题意 给定 \(n,x,k\)，求： \[ \sum_{a_1=1}^{n}{\sum_{a_2=1}^{n}{...\sum_{a_x=1}^{n}{\left( \prod_{j=1}^{x}{a_j^k} \right) f(gcd(a_1,a_2,...,a_x))*gcd(a_1,a_2,
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摘要：题意： 分析： 题目要求的是： \[ \sum_{i=1}^{n}{\sum_{t|i}{t[gcd(t,\frac{i}{t})==1]}} \] 推导： \[ \begin{align} S(n) &= \sum_{i=1}^{n}{\sum_{t|i}{t[gcd(t,\frac{i}{t})
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摘要：题意： 给你一个集合 \(S=\{1..n\}\)。保证 \(n\) 是奇数，必须执行以下操作，直到集合中只有一个元素： 首先删除 \(S\) 的最小元素（操作 $1$），然后从 \(S\) 中随机删除另一个元素（操作 $2$）。对于每个 \(i∈[1，n]\) ，确定 \(i\) 留在 \(S\)
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摘要：题意： 纸张对折，允许上下左右四个方向，给出 \(n\) 次操作，问 \(n\) 次折叠后从中心横竖裁剪后可得到多少张纸的数学期望。 $1≤T≤105,0≤n≤10{18}$ 题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6822 分析： 可以把折叠操
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摘要：题意： 计算： \[ \sum_{1\leq a<b \leq n \\ gcd(a,b)=1 \\ a+b \geq n}{\frac{1}{ab}} \] 其中，$2\leq n \leq 10^8$。 分析： 令 \[ f(n)=\sum_{1\leq a<b \leq n \\ gcd(a,
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摘要：题意： 分析： 一开始想的是用矩阵来求，但发现样例一直过不去。最后才发现，\((AB)^k \ne A^kB^k\)，其中 \(A,B\) 为矩阵，做了怎么久才发现是一个假算法。 看来题解才发现用的是斐波那契数列的通项公式： \(F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sq
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摘要：题意： 分析： 当时是根据样例猜出的公式： \[ f(n)=\frac{\prod_{n}^{i=1}{(2^i-1)}}{2^{\frac{n(n+1)}{2}}} \] 然后递推求出 $2^n$ 的逆元，预处理答案即可。注意超时和超内存。 具体的推导过程：https://blog.csdn.ne
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