Kruskal重构树学习笔记+BZOJ3732 Network

今天学了Kruskal重构树,似乎很有意思的样子~


先看题面:

BZOJ

题目大意:$n$ 个点 $m$ 条无向边的图,$k$ 个询问,每次询问从 $u$ 到 $v$ 的所有路径中,最长的边的最小值。

$1\leq n\leq 15000,1\leq m\leq 30000,1\leq k\leq 20000$。


我相信你们看见这题的想法和我一样:

货车运输!最小生成树上LCA一下就行了!时间复杂度 $O(m\log m+n\log n+k\log n)$。(这里LCA用倍增。树链剖分复杂度是多一个 $log$ 的)

但是这题有另一种做法:Kruskal重构树

(这种用到路径最长边值等一般都能用Kruskal重构树)


Kruskal重构树是什么?和Kruskal求最小生成树有什么关系?

我们先来看一下Kruskal重构树的一些性质。

Kruskal重构树是由原图的 $n$ 个点,新添加的 $n-1$ 个点和 $2n-2$ 条边构成的树。

(以下讨论的Kruskal重构树都是最小Kruskal重构树,最大Kruskal重构树反之亦然)

下面是一个图和它的Kruskal重构树:(圆点是原图中的点,方点是新加的点)

它的性质有:

  1. 一棵二叉树
  2. 叶子结点都是原图中的点,没有点权;非叶子结点都是新加的点,有点权
  3. 旧点 $u,v$ 两点间(不包括 $u,v$)的所有节点(都是新点)的点权最大值为原图中 $u,v$ 两点间所有路径的最长边的最小值
  4. 新点构成一个堆(不一定是二叉堆),在最小Kruskal重构树中是大根堆(最大Kruskal重构树中是小根堆)
  5. 结合性质3和4,旧点 $u,v$ 两点的LCA(是新点)权值为原图中 $u,v$ 两点间所有路径的最长边的最小值

比如点 $1,3$ 的LCA权值为 $3$,恰好是原图中 $1,3$ 两点间所有路径的最长边的最小值(边 $(3,5)$)。


Kruskal重构树怎么求呢?

  1. 找到一条边权最小的,且没有被遍历过的边。
  2. 如果这条边连接的两个点目前没有在一个联通块,那么新建一个节点,点权为该边的边权,左右儿子设为这两个点的最远祖先。(通过设置儿子为最远祖先合并联通块且不破坏性质)
  3. 重复1,2直到遍历完所有的边。

画个图了解一下,下图中红点是该边连接的两个点,绿点和绿边是添加的点和边:(点我食用这张图会更佳

 

如何用代码实现?像普通的Kruskal一样,维护一个路径压缩并查集,其中 $fa$ 数组不止止是判断在哪个集合,更是标记在重构树上的父亲。这也是为什么要路径压缩而不是按秩合并的原因,因为这样可以更快求得最远祖先。

每处理一条边,先判连通性,如果不连通那么把这两个点的最远祖先的 $fa$ 都设成新加的点,同时连边即可。注意,不能反过来,否则重构树在并查集上的结构会被破坏。

至于旧点之间,怎么连边,连那些边?参见性质2。

(其实就是不用连边,我好啰嗦啊


回到原题:建出最小Kruskal重构树,每次LCA一下即可。

这里顺便说一下,如果原图不保证联通怎么办,如何预处理?(以下的代码中我也判了两点不连通的情况)

两点不连通可以用建Kruskal重构树中的并查集知道。而预处理,每次如果一个点没有dfs到,那么从这个点的最远祖先dfs一遍(也可以用并查集知道)。

为什么要最远祖先呢?因为这样是对的且省时间,均摊 $O(\alpha(n))$。自己感受一下

(洛谷上货车运输那题是有不连通的图的测试点,我写重构树时第一次没有从最远祖先开始dfs,感受一下:)

时间复杂度:若用树链剖分求LCA是 $O(m\log m+n\log n+k\log n)$,复杂度更优。虽然常数大一点,但是学了一个新算法不是很好吗?

(读者:浪费时间,散了散了)


 

代码:(附带判断不连通)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct edge1{    //一开始的边,方便排序
    int u,v,w;
    bool operator<(const edge1 e)const{
        return w<e.w;
    }
}e1[30030];
struct edge2{    //重构树上的边(虽然只有两个儿子但这样写舒服)
    int to,nxt;
}e2[30030];    //重构树的点数是原图的约2倍,但是没有双向边
int n,m,q,el1,el2,cnt,root;
int u_fa[30030],w[30030],head[30030];    //u_fa是并查集的fa,w是新节点的权值
int dep[30030],fa[30030],son[30030],size[30030],top[30030];
inline void add1(int u,int v,int w){    //原图加边
    e1[++el1]=(edge1){u,v,w};
}
inline void add2(int u,int v){    //重构树加边
    e2[++el2]=(edge2){v,head[u]};
    head[u]=el2;
}
int getfa(int x){    //路径压缩
    return x==u_fa[x]?x:u_fa[x]=getfa(u_fa[x]);
}
void dfs1(int u,int f){
    fa[u]=f;
    dep[u]=dep[f]+1;
    size[u]=1;
    int maxson=-1;
    for(int i=head[u];i;i=e2[i].nxt){
        int v=e2[i].to;
        if(v==fa[u]) continue;
        dfs1(v,u);
        size[u]+=size[v];
        if(size[v]>maxson) maxson=size[v],son[u]=v;
    }
}
void dfs2(int u,int topf){
    top[u]=topf;
    if(!son[u]) return;
    dfs2(son[u],topf);
    for(int i=head[u];i;i=e2[i].nxt){
        int v=e2[i].to;
        if(v==fa[u] || v==son[u]) continue;
        dfs2(v,v);
    }
}
int calc(int u,int v){
    if(getfa(u)!=getfa(v)) return -1;    //如果不连通
    while(top[u]!=top[v]){
        if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
        u=fa[top[u]];
    }
    return dep[u]<dep[v]?w[u]:w[v];    //LCA的权值
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        add1(u,v,w);
    }
    sort(e1+1,e1+m+1);    //从小到大排序
    for(int i=1;i<=2*n-1;i++) u_fa[i]=i;
    cnt=n;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u=e1[i].u,v=e1[i].v;    //操作的两个点
        u=getfa(u);v=getfa(v);
        if(u==v) continue;    //已经联通,跳过
        w[++cnt]=e1[i].w;    //新建一个点
        u_fa[u]=u_fa[v]=cnt;    //设置父亲!
        add2(cnt,u);add2(cnt,v);    //加边(不需要双向边)
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++) //只需要遍历存在的点(图不连通的话点数可能没到2n-1)
        if(!dep[i])    //如果这个点没有被搜过
            dfs1(getfa(i),0),dfs2(getfa(i),getfa(i));    //那就从最远祖先开始搜
    scanf("%d",&q);
    for(int i=1;i<=q;i++){
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        printf("%d\n",calc(u,v));
    }
}
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另外今年的NOI2018D1T1正解也是Kruskal重构树,以后再慢慢杠吧,留个坑等着补题解。

posted @ 2018-07-24 20:25  ATS_nantf  阅读(504)  评论(4编辑  收藏  举报