ZROI 暑期高端峰会 A班 Day5 计算几何

内积（点积）

很普及组，不讲了。

\[(a,b)^2\le(a,a)(b,b) \]

外积（叉积）

也很普及组，不讲了。

旋转

对于矩阵 \(\begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{bmatrix}\)，在左边乘一个 \(\begin{bmatrix}cos\omega&\sin\omega\\sin\omega&-\cos\omega\end{bmatrix}\)，就能变成 \(\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\)

（第一类正交矩阵？？？）

反转

（第二类正交矩阵？？？）

（怎么没听说过？）

某经典题

补前面的公式漏掉了/kk

Simpson 积分

很普及组，不讲了。

一些基础东西

点和直线距离：点积随便搞。

向量位置关系：叉积判掉不平行，点积判掉反向，最后长度判掉即可。

线段是否相交：等价于任意一条线段与另一条线段所在的直线均有交点。特判一下平行和共线的情况（判是平行还是共线，可以连接一对端点，叉积判断；对于共线，简单判断两条线段是否相离即可）。

线段交点：先点积一波，然后应该就能随便搞了。

线段之间距离：如果有交点就是 0，否则答案一定在端点处取到。

多边形面积：固定一个点，逆时针对于每条边，求这个点和这条边组成的有向三角形面积，求和。

判断多边形是否凸：叉积判断。

判断一个点是否在多边形（不一定凸）内：过点作水平向右的射线，判断与多少条边相交，偶数条就在多边形外，否则在多边形内。注意先判掉是否在多边形上。

求凸包：不讲了。

求凸包直径：旋转卡壳。

求凸多边形和射线交的面积：求出与哪些边有交，直接搞即可。

平面最近点对：分治。按 \(x\) 排序，分别求左边和右边的最近点对距离。对于每个左边的点，根据一些推理可得它只会和右边的至多 6 个点对答案可能有贡献。而且是 \(y\) 离它前 6 近的两个点。复杂度 \(O(n\log n)\)。

求圆和直线的交点：先求直线到圆心的距离，然后就随便搞了。

求两个圆的交点：求两个圆心距离，然后就随便搞了。

求点到圆的切点：求点到圆心距离，然后就随便搞了。

求两个圆的公切线：反正都是随便搞了。

求圆和多边形交的面积：先把多边形拆成很多有向三角形。如果整个三角形在圆内，返回三角形面积；如果整个三角形在圆外，返回 0；如果三角形只有一个点在圆内，返回一个类似扇形的面积。否则选择任意一条过不在圆内的顶点的边，将这条边与圆的交点拎出来，按照这些交点把三角形划分成若干个小三角形，递归求解。实际上只会递归常数层。

最小圆覆盖：随机增量即可。

[HAOI2008]下落的圆盘

\(n\) 个圆盘从天而降，后面的会盖住前面的，问最后可见的轮廓线总长。

\(n\le 1000\)

对于每个圆盘，暴力判断后面所有圆盘覆盖了这个圆盘的哪些角度区间。

CF932F

见 Blogewoosh #7

SB 题，不讲了。

XV Open Cup named ... Directions

给若干个向量，每个向量有个代价，可以选若干个，要求能用非负系数组合他们，组合出任意向量，问最小代价和。

\(n\le 2\times 10^5\)

（在讲题之前自己先瞎 YY 一波，感觉挺对）

把向量移到同一个起点。对于两个向量，用非负系数组合他们，能组合出的向量的终点应该在那块小于 180 度的半平面交处。

那么问题就变成选出一些向量，使得起点处被分出的每个角，都小于 180。然后就不会了。

咕了。

CF1025F

给定 \(n\) 个点，问有多少对三角形不相交。

\(n\le 2000\)。

两个三角形不相交等价于它们有两条内公切线。

求出内公切线条数，除以 2 即可。

枚举内公切线，维护两边点数。扫描线可以做到 \(O(n^2\log n)\)。

圆反演

先固定一个反演中心 \(O\) 和一个反演半径 \(r\)。

对于一个点 \(P\)，反演后会变成 \(P'\)，其中 \(P,O,P'\) 三点共线，且 \(P,P'\) 在 \(O\) 同侧，且 \(OP\cdot OP'=r^2\)。

一些性质：

\(P\) 反演再反演后还是 \(P\)。

过反演中心的圆，会反演成不过反演中心的直线。

不过反演中心的圆，会反演成另一个不过反演中心的圆，它们的位似中心就是反演中心，位似比是……反正是 \(r\) 还是 \(r^2\)。

过反演中心的直线，反演后是它自己。

以反演中心为圆心，反演半径为半径作圆，那么圆上的点反演后还在圆上，圆内的点反演后在圆外，圆外的点反演后在圆内。

BZOJ2961

\(n\) 次操作，每次要么加入一个过原点的圆，要么询问一个点是否在所有圆的内部。

\(n\le 5\times 10^5\)

圆反演，过原点的圆反演成一条不过原点的直线。

问题变为询问一个点，将这个点以原点为反演中心圆反演后，是否在所有直线外侧（外是不包含原点的一半）。

动态半平面交。

HDU 4773

给定平面上不相交的两个圆和圆外的一点，求过这个点且与这两个圆外切的圆。可能有多个。

可以暴算。这里说圆反演的做法。

把圆外一点看作原点，那么要求的圆会变成一条直线，给定的两个圆会变成另外两个圆。

就是求新的两个圆的公切线，再反演回去就好了。

Codechef QPOINT

给定 \(n\) 个不相交的多边形，强制在线，\(q\) 组询问，给出一个点，问它在那个多边形内（或者不在任何一个多边形内）

\(n,q\le 10^5\)，点数和 \(\le 3\times 10^5\)

过这个点向上做一条射线。

如果没有与任何一条边相交，那就不在任何一个多边形内。

如果第一条有交的边是从右往左的，那么就是这条边所在的多边形。

如果第一条有交的边是从左往右的，那就不在任何一个多边形内。

需要维护边的上下关系。

如果可以离线，那么就按 \(x\) 排序，扫描线 + set 就没了。

否则就要用可持久化 treap。

CF704E

一棵树，\(m\) 个事件：在 \(t_i\) 时刻 \(x_i\) 上会出现一个人，以每秒 \(c_i\) 条边的速度移动到 \(y_i\)。移动是连续的，且移到终点后瞬间消失。

问最早什么时刻，两个人出现在同一点上。

\(n,m\le 10^5\)。

树剖。

考虑 \(x\) 轴是时间，\(y\) 轴是 DFS 序。一次移动就是一条线段。

变成有 \(O(m\log n)\) 条线段，问 \(x\) 坐标最小的交点。

按 \(x\) 扫描线。用 set 维护所有线段的 \(y\) 的相对大小关系。

如果两条线段有交，它们一定在某个时刻在 set 中相邻。如果没有线段有交，大小关系一定不变。

每次加入一条线段，判断和前驱后继有没有交。每次删除一条线段，判断前驱和后继有没有交。

复杂度 \(O(m\log^2 n)\)。

CF799G

给一个凸多边形，\(q\) 组询问，给出 \((x_i,y_i)\)，如何切经过 \((x_i,y_i)\) 的一刀，平分这个多边形。输出极角，或者输出无解。

\(n\le 10^4,q\le 10^5\)。

设 \(f(x)\) 表示极角为 \(x\) 的射线左侧的面积减掉右侧的面积。

所以 \(f(0)=-f(\pi)\)。所以肯定有零点。可以二分零点。

问题变成如何计算 \(f(x)\)。

考虑对叉积计算前缀和，实际上是对凸多边形求了个三角剖分。

二分出卡在哪两条边上，那么跟射线有关的有向三角形只有 2 个。这两个直接算，剩下的预处理前缀和/后缀和。

复杂度两个 \(\log\)。