Randomized Spectral Clustering for Large-Scale Multi-Layer Networks 阅读笔记

原文

文中提出了一种基于随机化的多层网络谱聚类方法，可用于对大规模的多层网络进行高效的社区检测

传统谱聚类方法

引入

多层随机块模型

多层网络有\(L\)层，\(n\)个节点，\(K\)个社区，第\(l\)层邻接矩阵为\(A_l \in \{0,1\}^{n \times n}\)，\(g_i\)表示节点i所属社区，\(B_l\)为第\(l\)层社区间连接的概率矩阵，\(A_{l,ij}\)服从伯努利分布：

\[A_{l,ij} \sim \text{Bernoulli}(B_{l,g_ig_j}) \]

为减小直接求和邻接矩阵导致的 “社区抵消”（部分层为同类社区密集连接、部分层为跨社区密集连接），采用Lei and Lin (2023)的结果，使用偏差调整后的平方邻接矩阵和作为聚合矩阵：

\[M=\frac 1{Ln} \sum_{l =1}^L(A^2_l-D_l) \]

其中\(D_l\)为对角矩阵，\(D_{l,ii}=\sum_{j=1}^n{A_{l,ij}}\)

算法设计

1.随机采样

对每层按概率\(p\)随机采样，得到稀疏矩阵\(\tilde{A}_{ij}\)，为保证期望相同，选中的\(A_{ij}\)还需乘上 \(\frac 1p\)

2.修正采样误差

经分析误差主要来自对角线部分，修正为

\[\overline M = \frac 1L \sum_{l=1}^L \left(\frac{\tilde{A}_l^2}{n}-\frac{\tilde{D}_l}{np^2}\right ) \]

其中\(\tilde D_l\)为对角矩阵，\(\tilde D_{l,ii}=\sum_{j=1}^n \mathbb I (\tilde A_{l,ij}=\frac 1p)\)

3.使用随机投影加速特征分解

采用随机块 Krylov 方法，通过迭代生成低维子空间逼近原矩阵，提高特征分解速度

实验

1.仿真实验

仿真实验基于多层随机块模型（Multi-layer SBM）与多层随机共块模型（Multi-layer ScBM，用于有向网络）生成数据，通过控制节点数\(n\)、层数\(L\)稀疏度
\(ρ\)（连接概率缩放因子）等参数，分析各因素对算法性能的影响。

2.真实数据实验

选取 7 个涵盖有向 / 无向、小规模 / 大规模的多层网络数据集，重点验证 RSC 在实际大规模数据上的计算效率优势，并在小规模数据上验证精度一致性。

相关工作

思考

1.主要贡献

方法创新：提出高效的随机化谱聚类算法，突破大规模计算瓶颈

实验验证：全方位验证算法的效率与精度，覆盖仿真与真实大规模数据，通过 “仿真实验 + 真实数据实验” 的双层验证体系，充分证明算法的实用性

工程实现：开发开源 R 包 MLRclust，降低应用门槛/

2.存在的不足

理论假设的局限性：依赖 “平衡社区” 与 “固定 K”，适配性受限

超参数敏感性：p 与 q 的选择依赖经验，缺乏自适应机制

真实数据的精度评估不充分：论文在真实数据实验中，仅通过 “与 SC 结果的相似度（ARI/AMI）” 验证 RSC 的精度，缺乏 “外部标签”（如节点的真实社区归属）的直接验证，精度评估的说服力有限