Dsu On Tree

算法简介

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Dsu on Tree 也称树上启发式合并，其主要用于解决一类针对子树信息的询问且无法使用 \(dfs\) 序 + 线段树解决的问题。

树上启发式合并的使用条件：

• 只有询问操作
• 需要将每个点依次统计求解，使用一般的算法复杂度过高。

算法流程

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以 树上数颜色 为例，朴素的暴力是枚举每个节点，扫描以它为根的子树统计答案，同时，由于树上颜色数无法快速合并区间信息，故无法使用 \(dfs\) 序 + 线段树解决，树上莫队的时间复杂度又不够优秀，故需使用一种全新的数据结构维护。

Dsu on tree 的思想是在保证答案的同时，根据重链剖分的原理，合并一些重复的扫描，从而降低复杂度。

具体算法流程如下：

• 我们开一个全局的桶来统计每个颜色的出现次数，以及一个变量calc来统计颜色种类数。
• 由于我们只有一个全局桶，所以要记得随时清除颜色信息，即统计一个节点的答案时，桶内只能有以它为根的子树的颜色信息。
• 在dfs到达某个节点时，可能处于三种状态：统计、消除、求解。
• 当处于统计状态时，意味着我们仅仅需要遍历当前子树统计颜色信息。
• 当处于消除状态时，意味着我们仅仅需要遍历当前子树将统计过的颜色信息反向消除掉。
• 当处于求解状态时，意味着我们需要进行一套“完整的求解操作”，并保留以当前节点为根的子树的颜色信息

完整的求解过程是：

• 递归求解轻儿子并消除信息（注意这里是求一个轻儿子删一个轻儿子）。
• 递归求解重儿子
• 统计轻儿子信息
• 求解当前节点答案