SAM

本文为学习 SAM 的笔记与我自己的思考，亮点在于从 MN 关系出发推导 SAM 的构造。

记号约定与前置知识

$\renewcommand\MN{\equiv_{\mathcal R}}\renewcommand{\tp}[1]{\left(#1\right)}\renewcommand{\endpos}{\text{endpos}}\renewcommand{\link}{\text{link}}\renewcommand{\dep}{\text{dep}}$下标从 0 开始，左闭右开。

MN 同余：对一个语言 $L \subseteq \Sigma^* $ 而言，两个字符串 $w_1, w_2$ 是 MN 同余的，如果 $\forall u \in \Sigma^* , (w_1u \in L \leftrightarrow w_2u \in L)$。一个等价的定义是，$w_1^{-1}L = w_2^{-1}L$，其中，$w^{-1}L := \set{u \mid wu \in L}$。

Syntactic DFA：是识别一个正则语言的最小 DFA，其每个状态是语言的一个 MN 同余类。

后缀语言的 MN 类，两种视角

我们可以从 MN 同余的角度看 SAM 的构造。现在请你忘掉所有关于 SAM 的知识，除了这一条：

SAM 是识别 $s$ 的后缀语言的 syntactic DFA。

其中字符串 $s$ 的后缀语言是 $L_s = \set{t \mid t \text{ 是 } s \text{ 的后缀}}$。

根据 MN 同余，在后缀语言里，有 $a \MN b \iff a^{-1}L_s = b^{-1}L_s \iff \endpos(a) = \endpos(b)$，其中 $\endpos(w) := \set{i \in [1, |s|] \mid s_{i-|w|..i}=w}$。这给了我们两种视角来看待 syntactic DFA 里的节点：

作为 $s$ 的子串的等价类
作为一个 $\endpos$ 集合

相应的，也有两种视角可以看待 syntactic DFA 里的转移：

$w$ 所在的等价类加上一个字符 $c$ 之后变成 $w+c$ 所在的等价类
一个 $\endpos$ 集合能匹配下一个 $c$ 的位置，即 $S \to \set{i + 1 \mid i \in S \land s_i=c}$

同时我们可以把后缀连接 $\link$ 定义为下面两个等价的函数：

从 $s$ 指向最长的不与 $s$ 等价的 $s$ 的后缀
从一个 $\endpos$ 集合指向一个真包含它的 $\endpos$ 集合

于是 $\link$ 构成一棵以 $\varepsilon$（或 $\set{0, 1, \dots, |s|}$）为根的树。

性质

后缀语言的 MN 等价类有一些有趣的性质

一个等价类里的任意两个字符串之间是后缀关系（一个是另一个的后缀），且存在一个最长后缀和一个最短后缀，它们之间的所有后缀都在这个等价类里
$w+c$ 所在的等价类只能由 $w$ 的后缀所在的等价类转移得到
从 $s$ 的等价类出发，不停跳 $\link$ 指针，可以遍历 $s$ 的所有后缀的等价类
$\link$ 指针构成的树有 $|s|$ 个叶子，每个叶子代表 $s$ 的一个前缀
$s$ 的所有后缀等价类在 $+c$ 后会粗化

增量地构造 SAM

基于第一种视角，即 $s$ 子串的等价类，我们可以给出一个增量构造 SAM 的方式。考虑已有了 $s$ 的 syntactic DFA，如何得到 $s+c$ 的 syntactic DFA。

先考虑等价类的变化。考虑 $s$ 原有的两个等价子串 $w_1, w_2$，在 $s+c$ 的 MN 关系中是否会变得不等价。这需要讨论两种情况：

它们同时是/不是 $s+c$ 的后缀，此时它们在 $s+c$ 的 MN 关系中是等价的
$w_1$ 不是 $s+c$ 的后缀，而 $w_2$ 是 $s+c$ 的后缀，此时它们不等价

第二种情况需要着重考察。这样的情况只会在 $s$ 的至多一个等价类中出现，并且这个等价类的一些较短的后缀是 $s+c$ 的后缀，而较长的则不是。此时需要将其分裂成两个等价类。

除此之外，$s+c$ 会带来一个新的等价类，那就是 $s+c$ 自己。

这里也可以这样讨论，就是 $s+c$ 带来的新子串即为 $s+c$ 的后缀

现在考虑它们之间的转移如何进行。对于 $s+c$ 自己所在的等价类，考虑哪些状态能转移到它，即 $s$ 的哪些后缀 $+c$ 后不在 $s$ 中出现。tl;dr: 从 $s$ 开始跳 $\link$（从而枚举 $s$ 的后缀状态），直到某个状态满足 $+c$ 后在 $s$ 中出现了，那么此前的所有状态就应该转移到 $s+c$。同时，对于分裂出来的 $s+c$ 的后缀 $w=w'+c$ 状态，需要枚举 $w'$ 的后缀状态，判断其 $+c$ 后是否是分裂后的状态。

除了维护新的状态和转移外，我们还需要维护 $\link$ 指针。$s+c$ 状态的 $\link$ 就是 $s+c$ 在 $s$ 中出现过的最长后缀。分裂出来的新状态的 $\link$ 需要指向原状态的 $\link$，而原状态的 $\link$ 又需要指向分裂出来的新状态……

广义 SAM

SAM 是考虑 $s$ 的所有后缀，而广义 SAM 则是考虑一个 trie 树的所有后缀，此处的后缀应该定义为“被插入到 trie 树上的所有字符串的后缀的并集”。

我们尝试用类似的方式构造广义 SAM，考虑插入一个新节点 $c$，设根到其父亲的路径的字符串为 $s$（i.e. 插入了一个字符串 $s+c$）。这时 $s+c$ 可能会也可能不会分裂出新状态，取决于原 DFA 里 $s+c$ 是否与某个 $w+s+c$ 等价，然而这并不很好判定，如果我们能按照长度不降的顺序加入字符串，就可以保证 $s+c$ 一定是新状态。而 $s+c$ 的后缀也可能会分裂出新状态，然而同 SAM 一样，只可能有一个状态会分裂。所以只要按照长度不降的顺序依次插入字符，就可以做到广义 SAM 了。

时间复杂度

我们可以证明 SAM 的状态数与转移数都是 $\mathcal O(n)$ 的，且 SAM 的构造算法也是 $\mathcal O(n)$ 的。

先考虑状态数。根据前面的算法，每加入一个字符会产生至多两个新状态，从而状态数不超过 $2n$。我们也可以从 $\link$ 树的角度考虑。注意到 $\link$ 树对应的叶子一定是 $s$ 的前缀所在的等价类，而树上只有一个儿子的节点也一定是 $s$ 的前缀所在的等价类，这意味着 $\link$ 树的大小不超过 $2n-1$，即状态数不超过 $2n-1$。

再考虑转移数。定义一个转移 $c:p\to q$ 是连续的，如果 $\text{len}(p)+1=\text{len}(q)$。从 $\varepsilon$ 出发，只走连续转移，能得到的字符串一定是一个等价类里最长的那个，所以每个等价类只有最多一条连续入边，那么连续边构成了 SAM 的生成树，最多有 $2n-2$ 条。而非连续转移 $c:p\to q$ 可以唯一对应到 $s$ 的一个后缀：取 $[p]$ 里最长的串 $u$ 和 $q$ 到接受状态最长的路径 $v$，那么 $u+c+v$ 是 $s$ 的一个真后缀，并且其中只包含一条非连续转移，故非连续转移最多只有 $n-1$ 个。加起来，总转移数不超过 $3n-3$。

最后考虑构造算法。以 OI Wiki 上的实现为例：

void sam_extend(char c) {
  int cur = sz++;
  st[cur].len = st[last].len + 1;
  int p = last;
  while (p != -1 && !st[p].next.count(c)) {
    st[p].next[c] = cur;
    p = st[p].link;
  }
  if (p == -1) {
    st[cur].link = 0;
  } else {
    int q = st[p].next[c];
    if (st[p].len + 1 == st[q].len) {
      st[cur].link = q;
    } else {
      int clone = sz++;
      st[clone].len = st[p].len + 1;
      st[clone].next = st[q].next;
      st[clone].link = st[q].link;
      while (p != -1 && st[p].next[c] == q) {
        st[p].next[c] = clone;
        p = st[p].link;
      }
      st[q].link = st[cur].link = clone;
    }
  }
  last = cur;
}

我们需要证明两个 while 循环的运行次数是均摊 $O(n)$ 的。为此定义势能函数 $\Phi$ 为 last 状态在 $\link$ 树中的深度。若算法进入 p==-1 的分支，则 while 的运行次数为 $T = -\Delta \Phi$；若算法进入 st[p].len+1 == st[q].len 的分支，则 $\dep(cur)=\dep(q)+1 \le \dep(p)+1=\dep(p')-T+1$，其中 $p$ 是新值 $p'$ 是旧值，因此 $T \le \dep(p')-\dep(q)+1 = -\Delta\Phi+1$；最后，如果发生了状态分裂，$\dep(cur)=1+\dep(clone)=2+\dep(\link(q)) \ge \dep(p)-1=\dep(p')-\Delta\Phi-1$ （方向好像不对...）

posted @ 2026-08-04 12:52 Ancker-0 阅读(8) 评论(0) 收藏举报

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