PTZ2021wd5c Multiple?

zz 讲了半个小时，没听懂，哥，真的好抽象。以下是基于 \(\texttt{2023.10.30 16:08}\) 的笨蛋的理解写出来的。和其他题解像是正常的，我看题解看了半天才看懂的。

求有多少个长度为 \(n - k\)，值域为 \([1,n]\) 的序列，满足其任意一个非空子序列，和都不是 \(n\) 的倍数。

\(1\leq k \leq \dfrac{n}{4} < n < 998244353\)

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感觉这道题目就是乱搞，找了依托必要条件，然后发现肯定是充分的。

首先子序列不太好搞，先整个子段的限制，找必要条件。

*(后来说是子序列和没有做法，所以只能求子段)

如果是子段就好搞很多，对整个序列做个前缀和，目前有 \(n - k + 1\) 个前缀和，可是这样好像看不出什么。把不同的数放到一个个对里，假设有 \(m\) 对，把他们排在序列上，注意到交换一个对就可以把一个前缀和换成一个不同的数，那么相当于我们有了 \(n - k + 1 + m\) 个前缀，如果在 \(\bmod\ n\) 下有相同的前缀和就寄了，所以 \(n - k + m + 1 \leq n\Longleftrightarrow m < k\)。我们继续考虑 \(m\) 大概能是多少，如果众数是 \(x\)，有 \(t\) 个，想象 \(m\) 最多是多少，由于 \(x\) 是众数，所以其他数的出现次数不会超过 \(t\)，容易构造出 \(m\leq\min\{n - k - t, \left\lfloor\frac{n - k}{2}\right\rfloor\}\)(自行思考易证，可以取等)。由于我们要求 \(m < k\)，而 \(k\leq\frac{n}{4}\)，所以 $\left\lfloor\frac{n - k}{2}\right\rfloor$ 无法限制 \(m\)，只能 \(m = n - k - t \Longleftrightarrow n-k-t<k \Longrightarrow t > \frac{n}{2}\)。

现在，你觉得这题已经做不下去了，从子序列到子段和是必要的，众数个数 \(> \frac{n}{2}\)，还 tm 是必要的，什么玩意。

再仔细想想，如果 \(\gcd(n, x) \neq 1\) 那么我直接找到 \(\frac{n}{\gcd(n, x)}\) 个 \(x\) 肯定就寄了，所以 \(\gcd(n, x) = 1\)。

以下这步我自己想绝对想不到，由于互质，\(x\) 在模 \(n\) 意义下有逆元, 直接让所有数乘上 \(x^{-1}\)，那么现在有 \(t\) 个 \(1\)，由于 \(t > \frac{n}{2}\)，所以如果所有数的和 \(\geq n\)，那肯定能得到 \(n\) 的倍数。

所以我们现在的限制就是：

1. 众数个数超过 \(\frac{n}{2}\)；
2. 众数和 \(n\) 互质；
3. 乘逆元后全部数的和 \(< n\)。

等一等，仔细想一下，逆元肯定在模意义下不是 \(0\)，那我在乘完逆元之后的序列中肯定凑不出 \(n\) 的倍数(和小于 \(n\)) 原序列也凑不出来，所以不在乎第一个必要的转化……奇怪，那第一个限制有什么用？没有用？没有用！我序列的长度数 \(\geq \frac{3}{4}n\) 而和 \(< n\)，那么给每个位置分一个 \(1\)，剩下的和 \(< \frac{1}{4}n\)，刚好，\(1\) 的个数一定满足限制，那也不在乎第二个必要的转化。

实际上限制条件只有：

1. 众数和 \(n\) 互质；
2. 乘逆元后全部数的和 \(< n\)。

插板即可。 $$ans = \binom{n - 1}{k - 1}\varphi(n)$$

总结，一头雾水。