CF1534G A New Beginning

CF1534G

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简单的，有趣的，简短的。

睡觉前找了道题当睡前故事，回去 yy 了一会儿就想出来了。

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首先切比雪夫距离可以转换为路径与过关键点的斜率为 \(-1\) 的直线的交点处的距离。

证：画个图就知道了，相交之前距离单调不增，相交之后距离单调不减。

那么可以将关键点按照 \(x_i + y_i\) 排序，设 \(f_{i, j}\) 表示现在在第 \(i\) 个点对应的直线上，横坐标为 \(j\)，前 \(i\) 个关键点带来的代价最小值。

转移：

\[f_{i, j} = \min_{j - d \leq k \leq j} \{f_{i - 1,k}\} + |x_i - j| \]

\(d\) 表示 \(x_i + y_i - x_{i - 1} - y_{i - 1}\)

思考一下这玩意的本质，后面的绝对值是一个关于 \(j\) 的下凸包，那 \(f_i\) 肯定也是关于 \(j\) 的下凸包，于是尝试维护凸包而不是 dp 值。

每次操作相当于把最小值右侧的图像右移 \(d\)，然后加上一个分段函数。

坏了，我不会，但我会差分（或者求导？）。

加上 \(|x_i - j|\) 等价与在导函数的左半部分 \(-1\)，右半部分 \(+1\)，可以用 multiset 维护区间导函数的相对关系，同时记录最小值区间， 移动右侧图像直接移动最小值右端点即可。

写的很丑。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn = 8e5 + 10;
const ll inf = INT64_MAX;
class Point {
public:
    ll x, y;
    Point() = default;
    Point(ll x, ll y) : x(x), y(y) {}
}p[maxn];
#define fir first
#define sec second
multiset<pair<ll, ll>> L, R;
ll sL, sR;
ll l, r, cur;
int n;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> p[i].x >> p[i].y;
    }
    sort(p + 1, p + n + 1, [](const Point &a, const Point &b) {
         return a.x + a.y < b.x + b.y;
         });
    l = r = p[1].x;
    L.emplace(0ll, l);
    R.emplace(0ll, p[1].x + p[1].y - r);
    cur = sL = sR = 0;
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        r += p[i].x + p[i].y - p[i - 1].x - p[i - 1].y;
        if(l <= p[i].x && p[i].x <= r) {
            sL -= p[i].x - l;
            sR -= r - p[i].x;
            L.emplace(sL, p[i].x - l + sL);
            R.emplace(sR, r - p[i].x + sR);
            l = p[i].x, r = p[i].x;
        } else if(p[i].x < l) {
            pair<ll, ll> cut = *prev(L.lower_bound(make_pair(l - p[i].x + sL, inf)));
            L.erase(L.find(cut));
            L.emplace(cut.fir, l - p[i].x + sL);
            L.emplace(l - p[i].x + sL, cut.sec);
            L.emplace(l - p[i].x + sL, l - p[i].x + sL);
            cur += l - p[i].x;
            sR -= r - l;
            R.emplace(sR, r - l + sR);
            cut = *L.begin();
            L.erase(L.begin());
            r = l;
            l -= cut.sec - cut.fir;
            sL = cut.sec;
        }else {
            pair<ll, ll> cut = *prev(R.lower_bound(make_pair(p[i].x - r + sR, inf)));
            R.erase(R.find(cut));
            R.emplace(cut.fir, p[i].x - r + sR);
            R.emplace(p[i].x - r + sR, cut.sec);
            R.emplace(p[i].x - r + sR, p[i].x - r + sR);
            cur += p[i].x - r;
            sL -= r - l;
            L.emplace(sL, r - l + sL);
            cut = *R.begin();
            R.erase(R.begin());
            l = r;
            r += cut.sec - cut.fir;
            sR = cut.sec;
        }
    }
    cout << cur;
}