函数

定义
设A,B为非空集合，A到B的函数f：A\(\rightarrow\)B，是A到B的关系，且满足 \(\forall a \in dom f\)，存在唯一的B中元素b，使\(<a,b>\in f\)。函数(function)也称为映射(mapping)或变换(transformation)。

全函数：\(dom f = A\)，部分函数：\(dom f \subset A\)。

一个集合中的元素对应另外一个集合中唯一的元素，特殊的关系

定义域\(dom f\)，值域\(ran f\)

函数相等
设f,g为函数，则 \(f=g \iff f \subseteq g ∧ g\subseteq f\).
即满足(1) \(dom f = dom g\)
(2)  \(\forall x \in dom f = dom g 都有 f(x)=g(x)\)

像与原像
\(f: A\rightarrow B\)
像：定义域的子集对应的B中元素组成的集合，记为\(f[A]\)
原像：值域B的子集对应A中元素组成的集合，记为\(f^{-1}[B]\)

限制与延拓
设 f 为从集合X到集合Y的部分函数且A\(\subseteq\)X。定义 f 在 A 上的限制\(f\uparrow_A\)为从A到Y的部分函数，并且\(f\uparrow_A\)  = f ∩ (A×Y)，也称 f 为 \(f \uparrow_A\) 到 X 上的延拓。

全函数集
设A和B为任意二集合，记\(B^A  =  \{f | f：A→B\}（f为A到B的全函数，全函数即dom f=A）\)
定理：
设A和B都是有限集，则\(n(B^A)  =  (n(B))^{n(A)}\)
\(A^\emptyset = \{\emptyset\}\quad\emptyset^A = \emptyset\)

复合函数（合成函数）
设f为从X到Y的函数，g为从Y到Z的函数，则称合成关系f◦g为f与g的合成函数，并用g◦f表示.

合成函数g◦f与合成关系f◦g表示同一个集合。

定理：
设 f 为从X到Y的部分函数，g为从Y到Z的部分函数，h 是Z到W的部分函数。。
1）\(dom (g◦f) = f ^{–1} [dom g] 且ran (g◦f) = g [ ran f ]\)
2）若 f 和 g 都是全函数，则g◦f也是全函数
3）h◦( g◦f ) = ( h◦g )◦f （关系的合成）

恒等函数
\(I_A = \{〈x,x〉|x ∈A  \}\).
满射、单射、双射
设f：X→Y，
若 ran f = Y，则称 f 为满射。
若 f 是1-1的，则称 f 为单射。（1-1即一一对应）
若 f 既是满射，又是单射，则称 f 为双射。

设R为集合A上的等价关系，则\(φ＝\{〈x, [x]R〉|x ∈A\}\)
是从A到A/R的满射，并称φ为自然映射或正则映射

定理：
设 f：X→Y 和 g：Y→Z
i)   若 f 和 g 都是满射，则g ◦ f 也是满射；
ii)  若 f 和 g 都是单射，则g ◦ f 也是单射；
iii) 若 f 和 g 都是双射，则g ◦ f 也是双射。
反之
i)   若g ◦ f 是满射，则 g 是满射；
ii)  若g ◦ f 是单射，则 f 是单射；
iii) 若g ◦ f 是双射，则 g 是满射且 f 是单射

反函数（逆函数）
设X和Y为二集合且 f:X→Y.
i)  若有g：Y→X使\(g ◦ f = I_X\)，则称 f 为左可逆的，并称g为 f 的一个左逆函数，简称左逆。
ii) 若有g：Y→X使\(f ◦ g= I_Y\)，则称f为右可逆的，并称g为f的一个右逆函数，简称右逆。
iii) 若有g：Y→X使\(g ◦ f = I_X\)，且\(f ◦ g = I_Y\)，则称 f 为可逆的，并称g为 f 的一个逆函数，简称逆。

定理：
\(f是左可逆的\iff f是单射\)
\(f是右可逆的\iff f是满射\)