关系及其表示

关系分类：

• n元关系
• 二元关系
• 空关系
• 全关系

几个定义

1. 二元关系 AxB 记为\(xRy\)
2. 全域关系\(A \times B\), 恒等关系\(I_A = \{<x,x> | x \in A\}\)
3. 两个\(R_1\), \(R_2\)关系相等要求：1. \(R_1 = R_2\)。2. \(R_1\),\(R_2\)来自的集合相等。
4. 定义域 dom R，值域 ran R

关系的表示

1. 列举法
2. 关系图
3. 关系矩阵 \(a_{ij} = (x_i==y_j)\) 矩阵先行后列

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关系的性质

谓词逻辑

P -> Q 真值表

P Q	P ->Q
F F	T
F T	T
T F	F
T T	T

五种典型二元关系

• 自反，反自反
• 对称，反对称
• 传递

R	自反	反自反	对称	反对称	传递
\(M_R\)	对角线元素全1	对角线元素全0	对称矩阵	非对称矩阵	字面意思
\(G_R\)	每个节点有自圈	节点都无自圈	成对出现有向边	无成对有向边	处处有捷径
既对称又反对称则关系矩阵只包括对角线

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关系的运算

• 关系的交 ，和， 差，对称差。
• 补关系，逆关系
• 复合关系
• 关系幂

补充定理

若二元关系\(R \in A^2\)，则
i)   R是自反的       iff  \(R^{-1}\)是自反的
ii)  R是反自反的    iff  \(R^{-1}\)是反自反的
iii) R是对称的       iff  \(R^{-1}\)是对称的，且\(R = R^{-1}\)
iv) R是反对称的  iff  \(R^{-1}\)是反对称的
v)  R是传递的       iff  \(R^{-1}\)是传递的

关系的闭包

• 自反闭包 r(R)
• 对称闭包 s(R)
• 传递闭包 t(R)
  R为集合A上的二元关系，
       i)     r(R) = R∪\(I_A\)；
       ii)    s(R) = R∪\(R^{-1}\)；
       iii)   t(R) = \(R^+\) 。\(R^+ = R^1 \cup R^2 \cup R^3 .... \cup R^n\)
  设二元关系R1，R2 \(\in A^2\)，R1 \(\in\) R2则
  i)     \(r(R1) \in r(R2)\)；
  ii)    \(s(R1) \in s(R2)\)；
  iii)   \(s(R1) \in s(R2)\)。
  设二元关系R \(\in A^2\)，
   i)      若R是自反的，则s(R)和t(R)也是自反的；
   ii)     若R是对称的，则r(R)和t(R)也是对称的；
   iii)    若R是传递的，则r(R)也是传递的；s(R)不一定传递
   v)      rs(R) = sr(R)；
   vi)     rt(R) = tr(R)；
   vii) st(R) \(\in\) ts(R);