范德蒙恒等式

范德蒙恒等式

\(\sum_{i=0}^kC_m^iC_n^{k-i}=C_{m+n}^k\)

证明：

考虑生成函数\(g(x) = (1+x)^{n+m}\)

对于其k次项，如果二项式直接展开，得到k次项系数为\(C_{n+m}^k\)

而将他拆开为\((1+x)^n*(1+x)^m\)再二项式展开，得到k次项系数为\(\sum_{i=0}^k C_{m}^iC_n^{k-i}\)

证毕！