摘要：## 图论 求证：$G = (V, E)$ 不含 $K_4$，则 $G$ 中 $K_3$ 的数目不超过 $\left(e/3\right)^\frac{3}{2}$。 证明： 记 $T$ 为所有 $K_3$ 的集合，其大小为 $t$ $N_v$ 为点 $v$ 所有邻居的集合 $P_v$ 为只保留 $ 阅读全文

摘要：对于任意质数 $p$，对于任意非负整数 $k < p-1$，有 $p|\sum_{i=0}^{p-1}i^k$ 证明： $k=0$ 的情况是容易验证的。 取 $p$ 的原根 $g$，由剩余系的性质知： 在 $\mod p$ 意义下，有 $$ \{0, g, 2g,\cdots, (p-1)g\} = 阅读全文

摘要：Prove: If $a > 0$，then $\forall x\in \mathbb R, a(\mathrm e^x+a)-x> 2\ln a+\dfrac32$ Proof: Let $f(x) = a(\mathrm e^x+a)-x$, then $f'(x) = a\mathrm e^ 阅读全文

摘要：题目 求不定积分 $$ \int \dfrac{1-x^4}{1+x^6}\mathrm{d}x $$ 解答 $$ \begin{split} \int \dfrac{1-x^4}{1+x^6}\mathrm{d}x &=\int \dfrac{1-x^2}{x^4-x^2+1}\mathrm{d} 阅读全文

摘要：第一章 基本概念 数的概念 自然数：$1, 2, 3$ 等，用以表示事物的次序或集合中事物的个数. 整数：$0, \pm1, \pm2$ 等，自然数是正整数. 有理数：$0$ 和 $\pm \dfrac{a}{b}$，其中 $a, b$ 是自然数.$;$ 当 $b = 1$ 时，$\pm\dfrac 阅读全文