做题记录二

写在前面：

多做，少胡

以下是正文：

2026/02/11

随机化总结：

1. 随机赋值
   • 最强跳蚤
     题意：计数有多少树上路径权值积是完全平方数
     做法：给素因子随机权值，出现次数为偶数时异或值为0，所以记录树上到根的异或值即可判断权值为完全平方的链数量。
   • P10102 矩阵
     题意：给你\(A,B,C\)三个矩阵，判断是否有\(A\times B=C\)
     做法：由于是矩阵乘法，所以大概率有 \(A\times D\times B=C\times D\)的，我们直接随机一个\(n\times 1\)的\(D\) 出来即可。
     
   • 三部图判定：
     \(O((\frac{2}{3})^npoly(n))\)
     给每个点随机一个颜色不要，那么正确的概率为\((\frac{2}{3})^n\)
     然后用 \(2-SAT\) 作判断即可。
   • Problem - 6765
     不写了，再见（
     题意：给你一棵树，定义链的权值为链上颜色数，每次询问给出两条链，问你两条链的大小关系，强制在线
     解法：
     
     随机 \(k\) 个 \([0,1)\) 变量的最小权值期望为 \(\frac{1}{k+1}\) 所以我们给每种颜色随机值做为权值，那么树剖查区间最小值30次即可大概率判断到，颜色少的链权值会更大。
   • Problem - I - Codeforces
     大步小步
2. 随机抽样
   • [P6817 PA 2013] Filary
     如果 \(m=2\) 可以得到答案下界为 \(\frac{n}{2}\) 所以我们每次随机一个数必选选对的概况为 \(\frac{n}{2}\) 然后我们考虑固定一个数如何统计答案
     筛出素因子，随机赋值，异或哈希即可
   • P11620 Ynoi Easy Round 2025 TEST_34 - 洛谷
     还没做，待补
3. 随机染色
   • 3400. 「2020-2021 集训队作业」Storm
     考虑我们只会选一些不交的菊花，所以随机染色后作费用流即可

2026/03/06

1. E. Tourists
   不是很难，tarjan建出园方树后对树作树剖，对于每一个方点，我们维护一个 mutiset ，它的定义是儿子中权值最小的点，那么对于线段树查min值，lca是方点的时候就多查一个父亲的权值即可
   为什么园方树是对的
   考虑两个点如果可以相互到达的路径，如果遇见点双可以绕回来，那么我们直接园方树把点双的权值最小值挂给方点就是可以了
   说着码农，我就写了100来行，感觉没多少啊
2. E. New Year Tree
   暴力柯树，搜到60种颜色就停止

2026/03/20

1. D - Digit Sum
   考虑一个b进制中表达数n，在 \(b>\sqrt{(n)}\) 的时候，就会有一个高位带剩下0幂次的位
   所以直接根号分治
   对于小于 \(\sqrt{(n)}\) 的作枚举
   对于大于的数有方程：

\(\lfloor \frac{n}{b} \rfloor + n\%b =s\)
\(b^{K}+ n\%b =n\)

解出来就做完了

20260327

1. A - Reversi 3

   wq,被阅读理解炸飞了。

   我们考虑问题的实质在于变换的方式

   

   两边是一样的中间随便是什么。

   那么维护相邻位置的异或值就可以很容易发现规律。

   

   对于这种相邻的两坨，我们将奇数位置保持不变，偶数位置为原数的异或值。

   那么对于可以操作的位置，就一定是形如 01 10 这样的东西。

   那么对于原来的序列操作，就可以看作翻转两个数，类似于排序，所以作0位置的差值和即可。

2. B - Range Mex Sum

   考虑我们高贵 mex 的本质是区间最小没有出现过的自然数。

   那么对于我们现在询问区间 \(A\) 。

   维护一个集合 \(S\) 表示没有出现的整数集合。

   对于一个区间再维护一个 \(m\) 表示不在区间内的 固定值 的最小值.

   然后就可以刻画这个区间的答案贡献了

   我们记

   \(c\) 表示不在区间内的 -1 的个数。

   \(d\) 表示在区间内的 -1 的个数。

   那么考虑固定权值算次数。

   \(ans_A=c!d!\sum_{v\in S}min(v,m)(\binom{i\in S|i\ge v}{c}-\binom{i\in S|i>v}{c})\)

   也就是说外面里面全排列，权值是枚举集合外最小值两个取min，方案是要求刚好是 \(v\)，所以取大于等于减大于，只剩下等于了。

   考虑怎么维护这个式子。

   我们考虑维护 \(c\) 和 \(m\) 作为关键字对答案的贡献。

   如果我们已知一个区间对应的 \(c\) 和 \(m\) ，是否可以直接预处理答案？

   首先枚举 \(c=[0,cnt]\) ，再作m的枚举，记得哨兵，就是对的。

   做一个类似单调不减的栈，复杂度 \(n^2\)。

3. C - Calculator

   考虑只有操作 3 4 那么这就是一个斐波拉契数列，对于操作1 2 实际上就是对最终答案加入一个斐波拉契值，那么拆贡献出来背包就做完了。

4. D - AtArcher

   考虑处理出一只 中心箭 这只中心箭的两侧箭数量差不会超过1

   那么由于得分根据位置单调减，可以证明中心箭的位置一定在\([0，d]\) 之间，然后考虑维护唯一不同的点在于边界，乱搞一下即可。

5. E - Tak and Hotels

   先考虑移动的规律，如果在一家酒店住下，那么到下一个酒店的时间可以累加。

   类似倍增，那么对于每一个点，维护走 \(2^n\) 天可以到达的最右边的酒店编号。

   一天的就加上\(l\) 然后 upper_bound 一下即可。

6. D - Small Multiple

   我们考虑从1在模k的意义下开始bfs，那么当模值为0时就可以找到答案，对于数值上乘十不会影响数位和，+1则数位和+1，那么对这个东西作01bfs，在取到第一个合法位置时就是答案了。