关于根号分治

根号分治就是暴力+暴力！——recloud

定义

根号分治是一种写题的trick（技巧），只是一种思想，以例题来作讲解

1.CF1207F

区间查询，单点修改。

很容易有两种很直接的暴力思路：

• 单点直接暴力修改：\(O(1)\)+区间暴力查询\(O( \dfrac{5e5}{x} )\)
  当x每次为1,总体时间可达\(O(5e5*n)=O(n^2)\)。

• 修改时维护一个\(ans[i][j],\)表示取模\(x\)余\(y\)的总值，每次暴力遍历x，当x为n时，可达\(O(x)=O(n)\)
  查询时直接ans输出，\(O(1)\)，总体时间为\(O(n^2)\).

欸，两个\(n^2\)

观察一下：，第一个式子的难点在于\(O( \dfrac{5e5}{x} )\)，当x过小，查询过复杂

第二个式子在于修改时\(O(x)\)x太大修改太复杂，结合一下？

！

我们预订一个阈值\(b\),\(x\)大于\(b\)时，使用方案一，否则使用方案二

代码如下，本题阈值为700：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int M=5e5+110,N=1e3+110;
inline int read(){
	int sum=0,k=1;char c=getchar();
	while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-')k=-1;c=getchar();
	}while(c>='0'&&c<='9'){sum=sum*10+c-48;c=getchar();
	}return sum*k;
}
inline void wr(int x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	if(x>9) wr(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
inline void co(int x){
	wr(x);putchar('\n');
}
int q=0,ans=0;
int a[M],res[N][N];

signed main(){
	q=read();
	while(q--){
		int opt=read(),x=read(),y=read();
		if(opt==1){
			for(int i=1;i<700;i++) res[i][x%i]+=y;
			a[x]+=y;
		}else{
			if(x<700) co(res[x][y]);
			else{
				for(int i=y;i<=M-110;i+=x) ans+=a[i];
				co(ans);ans=0;	
			} 
		}
	}
	return 0;
}

至于为什么阈值为700？

额，根号分治，5e5=500000的范围，\(\sqrt{500000}=707.1067811865476,\)而且：