斜率优化总结

首先，推荐一个大佬的博客，讲解非常详细，所以不会斜率优化的请移步这里，本博客主要讲题目分析qwq

https://www.cnblogs.com/yangsongyi/p/9630227.html

主要讲解题目：

1.[HNOI2008玩具装箱]

2.[ZJOI2007仓库建设]

3.[USACO08MAR土地征用Land Acquisition]

4.[APIO2010特别行动队]

下面，开始吧。

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1.[HNOI2008玩具装箱]

　　题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3195

　　题目分析：

　　/*   如何看出它是个斜率优化的题呢？

　　first：我们可以轻松的看出它是个DP

　　next：数据范围对于 $O(n^2)$显然不大友好

　　then: 怎么办呢？      肯定是得优化的，但怎么优化，用什么优化才是关键。*/

　　估计很多读者（呃。。such as本人）想到这里，直接的反应是：（算了，算了，不管了，写个DP式子，拿个暴力分得了） 于是对于此题，经过一番分析后，我们可以发现，有好几种方法列出状态及转移方程。

　　比如说$O(n^3)$的区间DP，读者们是可以较轻松列出的，但是这样的话，我们惊讶的发现：这玩意儿没办法优化，（写的极其优美的情况下)才是$O(n^3)$的。   此种——只适合暴力。

　　再想想，有没有$O(n^2)$的做法。

　　当然是有的，我们可以将状态这样设： $f[i]$ 表示装到第$i$个玩具，最小的花费是多少。   这样我们接下来可以直接枚举上一个打包压缩的位置$j$，用$f[j]$来更新我们的$f[i]$,时间复杂度$O(n^2)$。

　　方程是这样的$f[i]=min{(f[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j-l)^2}$ 其中$sum$数组维护的是题目中$c$数组的前缀和（为了计算费用方便）

　　$!!!$接下来的过程才是重头戏，经过上面dalao博客的学习后，我们知道了斜率优化这个东西，它的本质是要将上面的转移方程转化为 $y=kx+b$的形式，其中$b$就是我们要求的$f[i]$。（方便求）

　　于是，开始了漫长的导式子过程：  (部分摘自上面那位的blog......)

　　我们可以知道，所有只和$i$有关的项，和常数项可以暂时拿掉（相当于放在$b$旁边），最后再加，因为它是个定值，对答案没有影响，而且在以后的相减过程中，都是可以消去的项（大家不妨可以保留后试一试，看看对答案是否有影响）。

　　然后呢，我们令 $s[x]=sum[x]+x$

　   上面那个式子就成了这样: $f[i]=f[j]+s[i]^2+(s[j]-l)^2-2*s[i]*(s[j]-l)$

　　移项：$f[j]+s[i]^2+(s[j]+l)^2=2*s[i]*(s[j]+l)+f[i]$

　　省略式子（简化）:$f[j]+(s[j]+l)^2=2*s[i]*(s[j]+l)+f[i]$

　　然后这一坨  $f[j]+(s[j]+l)^2$ 就是 $y$ ,$2*s[i]$就是$k$,$f[i]$便是$b$，$s[j]$便是$x$（至于$l$为什么可以拿掉，因为在维护上面的式子时，我们需要做差，这一过程后，我们发现，$l$消失了。。）。

　　finally：可以用斜率优化的一贯做法来解题了。 首先要看好，要维护的凸包是向上的，还是向下的。（用人话来说，就是看看这个题是维护最小的花费，还是最大的花费。）然后建个平面直角坐标系，每个点的坐标便是 $(s[j],f[j]+(s[j]+l)^2)$ ，然后。。在此就不赘述了，剩下的上面那篇博客里就都有了，而且也是些套路的问题。

　　$!!!$这里有个比较重要的问题，就是我们一定一定要看好斜率$k$的符号，以便处理一些细节问题。

　　以下是代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=50001;
int n, l;
long long s[N];
long long f[N];
long long q[N];
double f_x(int x)
{
    return s[x];
}
double f_y(int x)
{
    return f[x]+(s[x]+l)*(s[x]+l);
}
double f_k(int a,int b)
{
    return (f_y(a)-f_y(b))/(f_x(a)-f_x(b));
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&l);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        long long x;
        scanf("%lld",&x);
        s[i]=s[i-1]+x;
    }
    int head, tail;
    head=tail=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        s[i]+=i;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(head<tail&&f_k(q[head],q[head+1])<2*s[i])
            head++;
        f[i]=f[q[head]]+(s[i]-s[q[head]]-l-1)*(s[i]-s[q[head]]-l-1);
        while(head<tail&&f_k(q[tail],i)<f_k(q[tail],q[tail-1]))
            tail--;
        q[++tail]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
}

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2.[ZJOI2007仓库建设]

　//　以下题均为略讲，如有特殊需要注意的地方，会加重处理。

 　　题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2120

 　　呃。。其实我最初分析这道题时，认为和上一道没什么两样。。。（其实真没什么两样），比较裸的概率DP，做起来，代码看起来，都差不多。（未完待续。。。）