2025/11/17 分享

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对称博弈

有 \(n\) 个石子围成一个圈，两个人轮流取走石子，每次可以取走一个石子或者相邻的两个石子，最后没有石子取的人输。

显然如果 \(n \leq 2\) ，先手总会赢。

否则显然先手只能把一个圈变成一条链。否则后手可以一次拿完，或者把一条链变成两条链。

后手总有办法分成两条一模一样的链。接下来无论先手如何操作，后手总能在对称位置模仿操作，那么后手赢。

那么当且仅当 \(n \geq 2\) 后手必胜。

NP 图

命题 1 ：无法进行任何移动的局面是 \(P-postion\) 。
命题 2 ：可以移动到 \(P-postin\) 的局面是 \(N-postion\) 。
命题 3 ：所以移动都导致 \(N-postion\) 的局面是 \(P-postion\) 。

巴什博弈
有 \(n\) 根火柴，两个人轮流取走火柴，每次可以取走 \(1 \sim m\) 根，最后没有火柴取的人输。

考虑动态规划：
\(dp[0] = P\) ，\(dp[0 + 1 \sim m] = N\) 。
\(dp[m + 1] = P\) ，\(dp[m + 1 + 1 \sim m] = N\) 。
\(dp[2m + 2] = P\) ，\(dp[2m + 2 + 1 \sim m] = N\) ……

容易不完全归纳当且仅当 \(n \equiv 0 (\bmod m + 1)\) 时是 \(P\) 态。设为命题 1 。

证明：
命题 2 ：当 \(n \equiv 0 (\bmod m + 1)\) ，根据鸽笼原理取 \(< m + 1\) 根火柴总会让新的 \(n^{'}\) 满足 \(n^{'} \not \equiv 0 (\bmod m + 1)\) 。
命题 3 ：当 \(n \not \equiv 0 (\bmod m + 1)\) ，根据鸽笼原理总能取 \(< m + 1\) 根火柴使让新的 \(n^{'}\) 满足 \(n^{'} \equiv 0 (\bmod m + 1)\) 。

\(\square\)

那么我们声称这个归纳是完备的。

NIM 博弈
有 \(n\) 堆石子，每堆有 \(a_1, a_2, \cdots, a_n\) 个，两个人轮流取石子，每次可以选择其中一堆拿走任意多个，最后没有石子拿的人输。

假设 \(n = 1\) ，显然先手必胜。
假设 \(n = 2\) ，显然在先手走过后，后手总能通过模仿，使得局面对称，那么后手必胜。
\(n \geq 3\) 则没那么容易推导，这里引入 \(NIM\) 和作为工具。

对于一个 \(NIM\) 游戏的局面 \(a_1, a_2, \cdots, a_n\) ，他是 \(P-postin\) 当且仅当 \(a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots a_n = 0\) 。设为命题 1 。
证明：
命题 2 ：若 \(a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots a_n = k\) ，设 \(k\) 的最高位为 \(m\) ，总存在 \(i \in [1, n]\) 满足 \(a_i\) 的 \(m\) 位为 \(1\) ，则 \(a_i \oplus k \leq a_i\) 。由 \(a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots a_n \oplus k = 0\) ，这需要在 \(i\) 这堆拿走 \(a_i - a_i \oplus k\) 变成 \(a_i - (a_i - a_i \oplus k) = a_i \oplus k\) 即可。
命题 3 ：若存在 \(a_i\) 拿走一些石子后变成 \(a_i^{'} < a_i\) ，则 \(P-opstion\) 的 \(NIM\) 和为 \(0 \oplus a_i \oplus a_i^{'} \neq 0\) 。

\(\square\)