逆序归纳在摩尔投票上的应用

逆序归纳在对抗性有限无环博弈论问题中通常是个强大的武器。

我们通常由观察猜测出一个先手必胜态，然后复原双方使用最优策略的前一个状态，使问题规模减小。如果归纳不会因为某人由于选择最优策略导致状态被破坏或中途退出游戏，那么猜测的结论成立。

大多数情况我们还需要试图归纳先手必胜态的补态是先手必败态。如果都能做到，那么这个博弈问题就解决了。

逆序归纳在一些简易地非博弈模型上也能起到作用。

之前用强数学归纳证明过摩尔投票，想来就是非常折磨。但是逆序归纳能很轻松地证明这种问题。

先考虑 \(n \geq 2, 2 \mid \sum _{i = 1}^{n} c_i\) ，否则问题显然。

证明 \(n, (n \geq 2, 2 \mid n)\) 种颜色的票，当且仅当 \(n \leq S / 2\) ，可以让不同颜色的票两两配对。

再考虑 \(S = \sum_{i = 1}^{n} c_i\) ，\(M = max_{c_i}\) 。
让 \(M\) 与任意一个元素配对。得到新的 \(n^{'}, S^{'} = S - 2, M^{'}\) ，我们总认为这个状态是当前状态，持续操作。

若 \(M^{'}\) 唯一，则 \(M^{''} = M^{'} - 1 \leq (S^{'} - 2) / 2 = S^{''} / 2 - 1\) 。

若 \(M^{'}\) 存在两种，且其他种类 \(= 0\) 。存在且仅存在两种 \(M^{'} = S^{'} / 2\) ，反复两两配对即可终止。

若 \(M^{'}\) 存在两种，且其他种类 \(> 0\) 。\(M^{'} \leq S^{'} / 2 - 1\) ，这一轮没被使用到的 \(M^{'}\) 作为下一轮的 \(M^{''}\) 满足 \(\leq S^{''} / 2\) 。

假设存在可能的反列数据使之矛盾，由于任何时刻不存在 \(>2\) 种 \(M^{'}\) 满足 \(M^{'} \geq S^{'} / 2\) ，可能不成立。数据无法违背鸽巢原理。

那么归纳可以进行到 \(n^{'} = 0\) 。